Решение упражнения номер 839 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

839

Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и MB соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 839 N и P – точки пересечения отрезков DK и AM, KC и BM. Требуется доказать, что S_MNKP=S_ADN+S_BCP Проведем перпендикуляры 〖CC〗_1, 〖MM〗_1 и 〖DD〗_1 к прямой AB:⇒〖CC〗_1∥〖MM〗_1∥〖DD〗_1⇒〖MM〗_1 – средняя линия трапеции 〖DD〗_1 C_1 C⇒〖MM〗_1=(〖DD〗_1+〖CC〗_1)/2 Поэтому S_AMB=1/2 AB (〖DD〗_1+〖CC〗_1)/2 S_ADK=1/2 AK∙〖DD〗_1, S_BCK=1/2 BK∙〖CC〗_1 Так как AK=BK=1/2 AB, то S_AMB=S_ADK+S_BCK или S+S_2+S_3=S_1+S_2+S_3+S_4⇒S=S_1+S_4, т.е. S_MNKP=S_ADN+S_BCP