Решение упражнения номер 838 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

838

Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 838 Пусть ABCD – данный четырехугольник, AM = MN = NB, CP = PQ = QD. Требуется доказать, что S_MNPQ=1/3 S_ABCD Проведем перпендикуляры CC1, PP1, QQ1 к прямой AB, а через точку P проведем прямую, перпендикулярную к CC1 и QQ1. Пусть 〖CC〗_1=h_1 , 〖PP〗_1=h, 〖QQ〗_1=h_2. Так как ΔCPK = ΔQPL (по гипотенузе и острому углу), то CK = LQ . Но CK=h-h_1, LQ=h_2-h Поэтому h-h_1=h_2-h, т.е. h=(h_2+h_1)/2 S_NBC=1/2 NB∙h_1 S_AMQ=1/2 AM∙h_2 S_MNP=1/2 NM∙h=1/2 NM∙(h_2+h_1)/2 Из этих равенств, учитывая, что AM = MN = NB, получаем: S_MNP=1/2(S_AMQ+S_NBC) Аналогично доказывается равенство S_PQM=1/2(S_CPN+S_QDA). Следовательно, S_MNPQ=S_MNP+S_PQM=1/2 (S_AMQ+S_NBC+S_CPN+S_QDA )=1/2(S_AMQD+S_NBCP) Итак, S_AMOD+S_NBCP=2S_MNPQ S_ABCD=〖3S〗_MNPQ S_MNPQ=1/3 S_ABCD