Решение упражнения номер 836 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

836

Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АКВ равны.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 836 Пусть O_1 и O_2 – середины диагоналей AC и BD данного четырехугольника, AF⊥O_1 O_2 и CE⊥O_1 O_2. Так как AO_1=O_1 C, то ∆AFO_1=∆CEO_1 (по гипотенузе и острому углу), поэтому AF=CE. Треугольники AKM и CMK имеют общее основание MK и равные высоты AF и CE, поэтому S_AKM=S_CMK. Так как треугольники BKM и DMK имеют общие основание MK и равные высоты AF и CE, поэтому S_BKM=S_DMK. Следовательно, S_AKB=S_AKM+S_BKM S_CMK+S_DMK=S_DCM⇒S_AKB=S_DCM