Решение упражнения номер 832 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

832

Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 832 Дано: ABCD - параллелограмм P, Q, R, T – середины сторон Доказать: MLKN – параллелограмм Доказательство: Данная фигура изображена на рисунке, где MLKN – четырехугольник, образованный при пересечении прямых AQ, BR, CT и DP. Так как AT||CQ и AT = CQ, то ATCQ – параллелограмм, поэтому MN||LK. Аналогично, ML||NK ⇒ MLKN – параллелограмм. Пусть S – площадь параллелограмма MLKN, BF⊥CT. Тогда BF⊥AQ и, ⇒ отрезок BE - высота ΔABN, а отрезок EP равен высоте параллелограмма MLKN, проведенной к стороне MN. Так как BQ = QC, то BE = EF (задача 384), а так как AP = PB, то AM = MN и поэтому AN = 2MN. Следовательно, S = MN · EF = MN · BE S_ABN=1/2 AN∙BE=MN∙BE=S Аналогично можно доказать, что площадь каждого из треугольников ADM, CDL и CBK также равна S. Поэтому S_ABCD=5S и S_MNKL/S_ABCD =S/5S=1/5 . Ответ: 1/5