Решение упражнения номер 831 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

831

На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки М и К, а на отрезке МК — точка Р так, что AM/MC=CK/KB=MP/PK. Наидите площадь треугольника ABC, если площади треугольников АМР и ВКР равны S1 и S2.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 831 Дано: ΔABC AM/MC=CK/KB=MP/PK. S_AMP=S_1. S_BKP=S_2. Найти: S_ABC - ? Решение: Пусть AM/MC=CK/KB=MP/KP=x S_AMP=AM∙h S_CMP=MC∙h Сравнивая площади ΔAMP и ΔCMP, получаем S_AMP/S_CMP =AM/MC=x⇒S_CMP=1/x S_1 Аналогично, сравнивая площади ΔBKP и ΔCKP, находим: S_CKP=x∙S_2. Так как S_CMP/S_CKP =MP/PK=x, то (1/x S_1)/〖x∙S〗_2 =x, откуда x=∛(S_1/S_2 )⇒S_CMP=1/x S_1=∛(S_1^2 S_2 ). S_CKP=x∙S_2=∛(S_2^2 S_1 ) S_CKM=S_CKP+S_CMP=∛(S_1^2 S_2 )+∛(S_2^2 S_1 ) Воспользуемся теперь теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу: S_ABC/S_CKM =(CB∙CA)/(CK∙CM). Но (CB∙CA)/(CK∙CM)=(CK+KB)/CK∙(CM+MA)/CM=(1+1/x)(1+x). Поэтому S_ABC=(1+1/x)(1+x)S_CKM. Подставляя в правую часть этого равенства выражения для x и S_CKM, после несложных преобразований приходим к равенству S_ABC=〖(∛(S_1 )+∛(S_2 ))〗^3 Ответ: 〖(∛(S_1 )+∛(S_2 ))〗^3