Решение упражнения номер 829 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

829

Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 829 Сначала докажем прямое утверждение. Пусть точка M лежит на диагонали AC (рис. а). S_MPBQ=S_ABC-S_APM-S_MQC S_ADC-S_MTA-S_CRM=S_MRDT⇒S_MPBQ=S_MRDT (т.к. ΔABC = ΔADC, ΔAPM = ΔMTA, ΔMQC = ΔCRM (по 3 признаку равенства треугольников)). Пусть точка M не лежит на отрезке AC. Обозначим через N точку пересечения отрезков AC и QT, а через P1 и R1 точки пересечения прямой, проходящей через точку N параллельно AD, с отрезками AB и CD (рис. б). Согласно доказанному S_(〖NQBP〗_1 )=S_(〖DTNR〗_1 ). Если точка M лежит между точками N и T (рис. б), то S_MPBQ>S_(〖NQBP〗_1 ), а S_MRDT<S_(〖DTNR〗_1 ), и поэтому S_MPBQ≠S_MRDT. Если точка M лежит между Q и N, то аналогично приходим к неравенству S_MPBQ≠S_MRDT. Следовательно, если S_MPBQ=S_MRDT, то точка M лежит на отрезке AC. Вывод: что требовалось доказать.