Решение упражнения номер 828 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

828

Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 828 а) Пусть прямая A – ось симметрии ΔABC. Тогда прямая A имеет по крайней мере одну общую точку с треугольником (объясните, почему).Более того, прямая A пересекает хотя бы одну из сторон треугольника, так как в противном случае точка, симметричная вершине треугольника, не лежащей на прямой A, не может принадлежать треугольнику (рис. а). Пусть прямая A пересекает сторону BC в точке M. Тогда вершина A лежит на прямой A. Предположим, что A∉A, тогда прямая A пересекает наряду со стороной BC еще какую-то сторону треугольника. Пусть, прямая A пересекает сторону AB в точке N (рис. б) и точка B1 симметрична точке B относительно прямой A. Тогда множество точек, симметричных точкам отрезков BM и BN относительно прямой A, будут отрезки B1M и B1N. Но хотя бы один из этих отрезков не принадлежит треугольнику ABC. Следовательно, прямая A проходит через вершину A. Рассмотрим точку B1, симметричную точке B, относительно прямой A (рис. в). AB1 = AB и точки, симметричные точкам стороны AB, лежат на отрезке AB1. Поэтому отрезок AB1 лежит на стороне AC и, следовательно, AB1 = AB ≤ AC. Аналогично, если точка C1симметрична точке C относительно прямой A, то отрезок AC1 лежит на стороне AB и AC1 = AC ≤ AB. Отсюда следует, что AB = AC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Ось симметрии (прямая A) пересекает сторону BC в ее середине. б) Пусть треугольник ABC имеет более чем одну ось симметрии. Тогда согласно доказанному в п. а) каждая из осей симметрии проходит через вершину треугольника и пересекает противоположную сторону в ее середине. Пусть например, одна ось симметрии проходит через вершину A, а другая через вершину B. Тогда AB = AC и BA = BC, т.е. AB = AC = BC и, значит, треугольник ABC – равносторонний. Вывод: что требовалось доказать.