Решение упражнения номер 826 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

826

На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, АСТМ, ВАНК, а затем параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 826 Дано: ΔABC BCDE, ACTM, BAHK – квадрат TCDQ, EBKP – параллелограмм Доказать: ΔAPQ – прямоугольный и равнобедренный. Доказательство: ΔBKP = ΔABC – по двум сторонам и углу между ними (BK = AB, KP = BE = BC, ∠BKP = ∠ABC, так как ∠BKP = 180° - ∠KBE и ∠ABC = 180° - ∠KBE). Поэтому BP = CA и ∠KBP = ∠BAC. ΔABC = ΔCQT – по двум сторонам и углу между ними (AC = CT, BC = CD = QT, ∠ACB = ∠CTQ, так как ∠CTQ = 180° - ∠DCT и ∠ACB = 180° - ∠DCT). Поэтому AB = CQ, ∠BAC = ∠TCQ. Так как ∠ABP = 90° + ∠KBP = 90° + ∠BAC, ∠ACQ = 90° + ∠TCQ = 90° + ∠BAC, то ∠ABP = ∠ACQ. Отсюда и из равенств BP = CA, AB = CQ следует, что ΔABP = ΔQCA (по двум сторонам и углу между ними), поэтом ∠1 = ∠2 и AP = AQ, т.е. ΔAPQ – равнобедренный. Так как ∠BAC = ∠ABP - 90°, то ∠PAQ = ∠3 + ∠BAC + ∠2 = (∠3 + ∠ABP + ∠1) - 90° = 180° - 90° = 90°. Таким образом, ΔAPQ – равнобедренный и прямоугольный. Вывод: что требовалось доказать.