Решение упражнения номер 822 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

822

На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 822 Пусть O1, O2, O3, O4 – точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах параллелограмма ABCD вне него. Сначала докажем, что ΔAO1O4 = ΔBO1O2 = ΔCO3O2 = ΔDO3O4 (1) Сравним треугольники AO1O4 и BO1O2: AO1 = AO1 и AO4 = BO2, так как эти отрезки являются половинами диагоналей соответствующих квадратов. ∠O1AO4 = 45° + α + 45° = 90° + α, где α = ∠BAD. так как ∠O1BO2 = 90° + α, то ∠O1AO4 = ∠O1BO2. Следовательно, ΔAO1O4 и ΔBO1O2 (по двум сторонам и углу между ними). Остальные равенства в (1) доказываются аналогично. Из равенств (1) следует, что O1O4 = O1O2 = O3O2 = O3O4, т.е. четырехугольник O1O2O3O4 – ромб. Из равенства треугольников AO1O4 и BO1O2 следует, что ∠1 = ∠2, поэтому ∠O2O1O4 – прямой, а значит, ромб O1O2O3O4 является квадратом. Вывод: что требовалось доказать.