Решение упражнения номер 821 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

821

При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 821 Пусть MNPQ – четырехугольник, образованный при пересечении биссектрис углов прямоугольника ABCD ⇒ четырехугольник MNPQ – прямоугольник. Докажем, что MN = NP. ΔAND – равнобедренный, так как ∠1 = ∠2 = 45°, поэтому AN = DN. Но AM = DP, так как ΔABM = ΔDPC (по стороне и прилежащим к ней углам). Таким образом, MN = AN – AM, DN – DP = NP ⇒MN = NP (т. к. AN = DN и AM = DP). Итак, в прямоугольнике MNPQ две смежные стороны равны, следовательно, MNPQ – квадрат. Вывод: что требовалось доказать.