Решение упражнения номер 820 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

820

Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 820 Пусть O1O2 – прямая, проходящая через середины O1 и O2 оснований AB и CD равнобедренной трапеции ABCD. ∠A = ∠B (ABCD - равнобедренная трапеция), поэтому ΔAO1D = ΔBO1C (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что O1D = O1C, т.е. ΔO1DC равнобедренный. Отрезок O1O2 – медиана этого треугольника, ⇒ O1O2 - высота, т.е. O1O2⊥CD, а так как AB||CD, то O1O2⊥AB. Вывод: что требовалось доказать Обратное утверждение сформулируем так: если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна к основаниям, то трапеция – равнобедренная. Докажем это утверждение. O1 и O2 – середины оснований AB и CD трапеции ABCD и O1O2⊥AB, O1O2⊥CD. В треугольнике ΔO1DC отрезок O1O2 – медиана и высота, поэтому этот треугольник равнобедренный, т.е. O1D = O1C и, ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что ∠3 = ∠4, поэтому ΔAO1D = ΔBO1C (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ AD = BC, т.е. трапеция ABCD равнобедренная. Вывод: что требовалось доказать.