Решение упражнения номер 819 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

819

Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 819 Пусть A и A – данные точки и прямая, AH – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой A, точка B – середина отрезка AH. Через точку B проведем прямую P, параллельную прямой A, и докажем, что искомое множество точек есть прямая P. Если X – произвольная точка прямой A, то прямая P пересекает отрезок AX в его середине (см. задачу 384). Следовательно, середины отрезков, соединяющих точку A со всеми точками прямой A, лежат на прямой P. Докажем теперь, что любая точка M прямой P является серединой отрезка, соединяющего точку A с какой-то точкой прямой A. Пусть прямая AM пересекает прямую A в точке Y. Согласно задаче 384 прямая P пересекает отрезок AY в его середине, т.е. точка M – середина отрезка AY. Итак, искомым множеством точек является прямая P. Ответ: Прямая параллельная данной прямой и проходящая через середину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.