Решение упражнения номер 818 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

818

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 818 Пусть ABCD – данный выпуклый четырехугольник, а O - точка пересечения его диагоналей. Докажем сначала, что AO = OC, BO = OD. Предположим, что это не так. Тогда возможны два случая: а) Точка O – середина одной из диагоналей и не является серединой другой диагонали. Пусть для определенности AO = OC, BO < OD. Отметим на отрезке OD точку B1 так, что OB1 = OB, и рассмотрим ΔOB1C. Так как ΔABO = ΔCB1O (по двум сторонам и углу между ними), то AB = CB1. По условию PABO = PCDO, или AB + AO + OB = OB1 + B1D + DC + CO. Отсюда, учитывая равенства AO = OC и OB = OB1, получаем AB = B1D + DC, или CB1 = B1D + DC. Но в ΔCB1D: CB1 < B1D + DC. Мы пришли к противоречию и, значит, случай а) не может иметь места. б) Точка O не является серединой ни одной из диагоналей. Пусть, например, AO <OC, BO < OD. Отметим точки A1 и B1 на отрезках OC и OD так, что OA1 = OA, OB1 = OB и рассмотрим ΔOA1B1 (рис. б). Так как ΔAOB = ΔA1OB1 (по двум сторонам и углу между ними), то AB = A1B1. По условию PABO = PCDO, или AB + AO + OB = OB1 + B1D + DC + CA1 + A1O. Отсюда, учитывая равенства OA1 = OA и OB = OB1, получаем AB = B1D + DC + CA1, или A1B1 = B1D + DC + CA1. Но в четырехугольнике A1B1DC A1B1 < B1D + DC + CA1. Мы пришли к противоречию, и, значит, случай б) так же не может иметь места. Итак, AO = OC, BO = OD, и поэтому ABCD – параллелограмм (признак 3°, п. 43). Но из условия PAOB = PCOB следует, что AB = BC, т.е. смежные стороны параллелограмма ABCD равны ⇒ параллелограмм ABCD – ромб. Вывод: что требовалось доказать.