Решение упражнения номер 817 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

817

Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 817 Пусть в ΔABC: BC = A, CA = B, AB = C, а медианы, проведенные к сторонам BC, CA и AB, равны соответственно MA, MB и MC. Достроим ΔABC до параллелограмма ABCD. Тогда в ΔABD: BD = B, AO = 2MA. Используя неравенство AD < AB + BD, или 2MA < B + C, откуда m_a<(b+c)/2. Аналогичные неравенства имеют место для MB и MC: m_b<(a+c)/2. m_c<(a+b)/2 Сложив три последних неравенства, получим MA + MB + MC < A + B + C, т.е. сумма трех медиан треугольника меньше его периметра. Напишем теперь неравенство треугольника для ΔABM и ΔACM, учитывая, что BM=CM=a/2, m_a+a/2>c, m_a+a/2>b. Складывая эти неравенства, получим 2m_a+a>b+c, откуда m_a>(b+c-a)/2 . Аналогичные неравенства имеют место для m_b и m_c: m_b>(a+c-b)/2. m_c>(a+b-c)/2 Сложив три последних неравенства, приходим к неравенству m_a+m_b+m_c>1/2(a+b+c), т.е. сумма трех медиан треугольника больше половины его периметра. Вывод: что требовалось доказать.