Решение упражнения номер 816 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 816

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 816 Пусть P – точка пересечения прямых DE и AB, DO||AC, O ∊ AB, а N – точка пересечения прямых DO и BM. Прямоугольные треугольники ADP и ADE равны по катету и прилежащему острому углу (AD – общий катет, ∠1 = ∠2 по условию), поэтому AP = AE = A и PD = DE, т.е. точка D – середина отрезка PE. Рассмотрим прямую OD, параллельную AC. Эта прямая проходит через середину стороны PE ΔAPE и OD||AC, поэтому AO = OP (задача 384) и, следовательно, AO=1/2 AP=a/2. Так как OD||AC, то ∠2 = ∠3 (как накрест лежащие), а поскольку ∠1 = ∠2, то ∠1 = ∠3, откуда следует, что ΔAOD – равнобедренный и, значит, OD=AO=a/2. Так как OD||AC, то углы O и D треугольника OBD равны соответственно углам A и C треугольника ABC. Но углы A и C равны, поскольку ΔABC – равнобедренный. Следовательно, углы O и D ΔOBD также равны, и поэтому ΔOBD – равнобедренный с основанием OD. Так как OD||AC и BM⊥AC, то BN⊥OD, т.е. отрезок BN – высота равнобедренного ΔOBD, проведенная к основанию, а значит, и медиана. Итак, ND=NO=1/2 OD=a/4. Четырехугольник MNDK, очевидно, является прямоугольником, поэтому MK=ND=a/4. Ответ: a/4