Решение упражнения номер 815 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

815

Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 815 Если данный четырехугольник выпуклый, то его диагонали пересекаются, поэтому любые две противоположные вершины четырехугольника лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины. Пусть ABCD – невыпуклый четырехугольник. Тогда одна из прямых, содержащих сторону четырехугольника, например прямая AB, пересекает сторону CD в некоторой точке M. Отрезки AB и CD не пересекаются, поэтому возможны два случая: а) Точка A лежит на отрезке BM (рис. а). В этом случае точки B и M лежат по разные стороны от прямой AC. Отрезок MD не пересекается с прямой AC, поэтому точка D лежит по ту же сторону от прямой AC, что и точка M. Итак, вершина B лежит по одну сторону от прямой AC, а противоположная вершина D – по другую сторону от этой прямой. б) Точка B лежит на отрезке AM (рис. б). Аналогично случаю а) можно доказать, что противоположные вершины A и C лежат по разные стороны от прямой BD. Вывод: что требовалось доказать.