Решение упражнения номер 813 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 813

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 813 Пусть плитки имеют форму выпуклого четырехугольника ABCD. Через вершины A и C проведем прямую A, а через вершины B и D – прямые B и C, параллельные прямой A. Затем проведем прямые D и E, параллельные прямой A, так, что расстояние между прямыми B и D равно расстоянию между прямыми A и C (обозначим его R1), а расстояние между прямыми C и E равно расстоянию между прямыми A и B (обозначим его R2). Продолжая этот процесс неограниченно, мы разобьем всю плоскость на полосы, причем ширина полос (расстояние между соседними параллельными прямыми) принимаем попеременно значения R1и R2. Разобьем полосу, заключенную между прямыми A и B, на треугольники, равные ΔABC, а полосу между прямимы A и C – на треугольники, равные ΔADC. То же самое сделаем и с другими полосами. В результате всю плоскость можно представить себе разбитой на четырехугольники, причем каждый из них равен четырехугольнику ABCD. Докажем, например, что четырехугольник ECFB равен четырехугольнику ABCD. Стороны этих четырехугольников соответственно равны, и также углы соответственно равны (на рис. Равные углы отмечены одинаковыми цифрами). Отсюда следует, что эти четырехугольники можно совместить наложением, а это и означает, что они равны. Таким образом, любую часть плоскости можно покрыть паркетом из одинаковых плиток, равных четырехугольнику ABCD. Вывод: что требовалось доказать.