Решение упражнения номер 812 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

812

Положительные числа а1, а2, а3, а4, а5 и а6 удовлетворяют условиям а1-а4 = а5 — а2 = a3-a6. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны, причём А1А2 = а1, А2А3 = а2, А3А4= а3, А4А5 = а4, A5A6 =a5 и А6А1 = а6.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 812 По условию A1 – A4 = A5 – A2 = A3 – A6. Поэтому A1 + A2 = A4 + A5, A3 + A4 = A6 + A1, следовательно A1 + A2 + A3 = A3 + A4 + A5 = A5 + A6 + A1. Построим равносторонний треугольник B1B2B3, сторона которого равна A1 + A2 + A3. На стороне B1B2 этого треугольника отметим точки A2 и A3 так, что B1A2 = A1, A2A3 = A2, A3B2 = A3. Далее, на стороне B2B3 отметим точки A4 и A5 так, что B2A4 = A3, A4A5 = A4, A5B3 = A5, а на стороне B3B1 - точки A6 и A1 так, что B3A6 = A5, A6A1 = A6, A1B1 = A1. Так как по построению A1B1 = B1A2, A3B2 = B2A4, A5B3 = B3A6 и ∠B1 = ∠B2 = ∠B3 = 60°, то треугольники B1A1A2, B2A3A4, B3A5A6 – равносторонние. Отсюда следует, что каждый угол шестиугольника A1A2A3A4A5A6 равен 120° (т.е. углы равны друг другу), а стороны удовлетворяют условию: A1A2 = A1, A2A3 = A2, A3A4 = A3, A4A5 = A4, A5A6 = A5, A6A1 = A6. Вывод: что требовалось доказать.