Решение упражнения номер 791 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 791

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 791 Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD и точки E, G, F, H - середины его сторон и отрезки HG и EF соединяющие середины противоположных сторон. Обозначим векторы как указано на рисунке. Очевидно, что {█(2f ⃗+c ⃗-a ⃗=(m_1 ) ⃗+(m_2 ) ⃗@f ⃗+(k_1 ) ⃗-a ⃗=(m_1 ) ⃗ )┤ И {█(2a ⃗+b ⃗-f ⃗=(k_1 ) ⃗+(k_2 ) ⃗@a ⃗+(m_1 ) ⃗-f ⃗=(k_1 ) ⃗ )┤ Выражая из вторых уравнений (m_1 ) ⃗ и (k_1 ) ⃗, и подставляя их в первые, получим {█(2f ⃗+c ⃗-a ⃗=f ⃗+(k_1 ) ⃗-a ⃗+(m_2 ) ⃗@2a ⃗+b ⃗-f ⃗=a ⃗+(m_1 ) ⃗-f ⃗+(k_2 ) ⃗ )┤ Откуда {█(f ⃗+c ⃗=(k_1 ) ⃗+(m_2 ) ⃗@a ⃗+b ⃗=(m_1 ) ⃗+(k_2 ) ⃗ )┤ Так как 2(f ⃗+c ⃗ )=2(a ⃗+b ⃗), то (k_1 ) ⃗+(m_2 ) ⃗=(m_1 ) ⃗+(k_2 ) ⃗, или (k_1 ) ⃗-(k_2 ) ⃗=(m_1 ) ⃗-(m_2 ) ⃗. Так как (k_1 ) ⃗||(k_2 ) ⃗, (m_1 ) ⃗||(m_2 ) ⃗ и векторы k ⃗ и m ⃗ не коллинеарны, то (k_1 ) ⃗=(k_2 ) ⃗ и (m_1 ) ⃗=(m_2 ) ⃗ Следовательно отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.