Решение упражнения номер 713 – Геометрия 8 класс Атанасян Л.С.

713

Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 8 класс Атанасян: 713 ΔOXM = ΔOBM (по гипотенузе и катету). Следовательно, MX = MB и ∠MOX = ∠MOB. ΔOXN = ΔOCN. Следовательно, XN = CN и ∠NOX = ∠NOC. Имеем: P = AM + MN + AN = AM + MX + XN + NA = AM + MB + CN + NA = AB +AC и ∠MON=∠MOX+∠NOX=(∠BOX+∠XOC)/2=∠BOC/2. Следовательно периметр треугольника AMN и угол MON не зависят от выбора точки X на дуге BC.