Решение упражнения номер 626 – Геометрия 8 класс Атанасян Л.С.

626

Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если AB/A1B1=AC/A1C1=AD/A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 8 класс Атанасян: 626* Пусть DE||AB и D1E1||A1B1. Тогда, CE/AE=CD/DB (см. задачу 556), а так как AD – биссектриса треугольника, то CD/DB=AC/AB(задача 535). Следовательно, CE/AE=AC/AB. Аналогично из ΔA1B1C1: (C_1 E_1 A_1 C_1)/(E_1 A_1 A_1 B_1 ) Из условия задачи AC/AB=(A_1 C_1)/(A_1 B_1 ), поэтому CE/EA=(C_1 E_1)/(E_1 A_1 )→CE/EA+1=(C_1 E_1)/(E_1 A_1 )+1, т.е. AC/EA=(A_1 C_1)/(E_1 A_(1 ) ). Отсюда имеем: EA/(E_1 A_1 )=AC/(A_1 C_(1 ) ), а так как по условию AC/(A_1 C_(1 ) )=AD/(A_1 D_1 ), то EA/(E_1 A_1 )=AD/A_1 D_1. В треугольнике AED ∠DAE = ∠ADE (это следует из того, что ∠BAD = ∠DAE, так как AD – биссектриса, и ∠BAD = ∠ADE, так как эти углы – накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и DE секущей AD), поэтому DE = EA. Аналогично, D1E1 = E1A1 и, следовательно, в силу равенства EA/(E_1 A_1 )=AD/(A_1 D_(1 ) ) имеем: DE/(D_1 E_1 )=EA/(E_1 A_1 )=AD/(A_1 D_1 ). Отсюда следует, что ΔAED ~ ΔA1E1D1, а значит, ∠DAE = ∠D1A1E1 и поэтому ∠A = ∠A1. Из равенств AB/(A_1 B_1 )=AC/(A_1 C_(1 ) ) и ∠A = ∠A1. Получаем, что ΔABC ~ ΔA1B1C1 (по второму признаку подобия треугольников), что и требовалось доказать.