Решение упражнения номер 568 – Геометрия 8 класс Атанасян Л.С.

Задание 568

Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:а) прямоугольника;б) равнобедренной трапеции.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 8 класс Атанасян: 568 а) Пусть точки M, N, P, Q – середины сторон прямоугольника ABCD. Тогда четырехугольник MNPQ – параллелограмм, причем MN = PQ = ½AC, MQ = NP = ½BD (см. задачу 567). Но в прямоугольнике диагонали равны, т.е. AC = BD. Следовательно, MN = PQ = MQ = NP, т.е. MNPQ – ромб. б) Пусть точки M, N, P, Q – середины сторон равнобедренной трапеции ABCD. Тогда четырехугольник MNPQ – параллелограмм, причем MN = PQ = ½AC, MQ = NP = ½BD (см. задачу 567). Но в равнобедренной трапеции диагонали равны, т.е. AC = BD (см. задачу 388). Следовательно, MN = PQ = MQ = NP, т.е. MNPQ – ромб.