Решение упражнения номер 345 – Геометрия 7 класс Атанасян Л.С.

Задание 345

Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 7 класс Атанасян: 345 Продолжим отрезок ВА на отрезок AD=AC. Допустим АМ – биссектриса ∠CAB, следовательно, ∠CAM=∠BAM. По условию задачи прямая РА перпендикулярна биссектрисе АМ (см.рис), следовательно, ∠BAH=90^o-∠BAM,∠PAC=90^o-∠CAM. Но ∠CAM=∠BAM= > ∠BAH=∠PAC. ∠BAH=∠DAP как вертикальные, тогда ∠PAC=∠DAP. ∠DAH=180^o-∠DAP. ∠CAH=180^o-∠PAC, следовательно ∠DAH=∠CAH. ∆CAH=∆DAH (по 1-му признаку: двум сторонам и углу между ними: CA=AD по построению, АН – общая сторона, ∠DAH=∠CAH по доказанному). В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, тогда CH=DH. Из неравенства треугольника следует, что DH=HB>DB но DB=DA+AB=CA+AB. По доказанному DH=CH, следовательно CH+HB>CA+AB. У ∆BCH и ∆ABC сторона СВ – общая. P_∆BCH=CH+HB+CB. P_∆ABC=CA+AB+CB, из того, что CH+HB>CA+AB следует, что P_∆BCH>P_∆ABC.