Решение упражнения номер 175 – Геометрия 7 класс Атанасян Л.С.

175

На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 7 класс Атанасян: 175 ∠O– общий, OA=OB,OD=OE (поскольку OD=OB+BD,OC=OA+AC,OA=OB,BD=AC), следовательно ∆ADO=∆BCO (по 1-му признаку: двум сторонам и углу между ними), следовательно ∠D=∠C,∠OAD=∠OBC. ∠OAD,∠1 – смежные углы, следовательно ∠1=180^o-∠OAD. ∠OBC,∠2 – смежные углы, следовательно ∠1=180^o-∠OBC, следовательно ∠1=∠2. ∠1=∠2,∠D=∠C,BD=AC, следовательно ∆BED=∆AEC (по 2-му признаку: стороне и двум прилежащим углам), следовательно DE=EC. OE – общая сторона, OD=OC,DE=EC=>∆OED=∆OCE (по 3 сторонам), следовательно ∠DOE=∠COE, следовательно OE – биссектриса. Описание способа построения биссектрисы угла. Построить окружность с центром в вершине угла любого радиуса. Окружность пересечет стороны, прилегающие к углу, в точках А и В. Построить окружности с центрами в точках А и В также любого радиуса. Окружность с центром А и радиусом R пересечет сторону угла в точке С, так же окружность с центром В и радиусом R пересечет сторону угла в точке D. Тогда проведем отрезки AD и BC, которые пересекаются в точке Е. Соединим лучом вершину угла и точку Е. Луч ОЕ и будет биссектрисой.