Решение упражнения номер 1134 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1134

Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2…A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: a) A2A7 = 2R; б) АА1А2В и АВА40 — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4-А1А2 = R.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1134. Дано: A_1 A_2…A_10- правильный. A_1 A_4∩A_2 A_7=B Доказать: а) ∆A_1 A_2=2R. б) ∆A_1 A_2 B~-∆〖BA〗_4 O. в) A_1 A_4-A_1 A_2=R Доказательство: т.к. правильный 10-угольник вписан в окружность, то каждая дуга A_1 A_2=A_2 A_3=⋯=A_9 A_10=360^o:10=36^o. ∆A_1 A_2 B и ∆A_4 BO: ∠A_1 A_2 B=∠A_4 BO, ∠A_1=1/2 A_2 A_4=36^o, ∠A_2=1/2 A_2 A_7=72^o, ∠O=A_2 A_4=72^o ⟹ ∠A_2=∠O ∆A_1 A_2 B~-∆〖BA〗_4 O (по двум углам.) Рассмотри ∠A_2 OA_7- это центральный угол, тогда ∠A_2 OA_7=∠A_2 A_4 A_7=180^o, значит A_2 A_7- диаметр, т.е. A_2 A_7=2R. ∆A_1 A_2 B- равнобедренный, т.к. ∠A_2=∠B=72^o ,значит A_1 A_2=A_1 B. ∆〖BA〗_4 O- равнобедренный, т.к. ∠B=∠O=72^o ,значит BA_4=A_4 O. A_1 A_4-A_1 A_2=A_1 A_4-A_1 B=A_4 O=R, суть утверждения задачи.