Решение упражнения номер 1133 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1133

Диагонали А1А6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и А6А9В равносторонние; б) А1А6 = 2r, где r— радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1133. Дано: A_1 A_2…A_12- правильный вписанный в Окр(O.R). A_1 A_6∩A_2 A_9=B Доказать: а) ∆A_1 A_2 B и ∆A_6 A_9 B- правильный. б) A_1 A_6=2r Доказательство: т.к. правильный 12-угольник вписан в окружность, то каждая дуга A_1 A_2=A_2 A_3=⋯=A_11 A_12=360^o:12=30^o, имеет ∠A_2 A_1 B=1/2 A_2 A_4 A_6=1/2∙120^o=60^o ∠A_1 A_2 B=1/2 A_1 A_11 A_9=1/2∙120^o=60^o ∠A_9 A_6 B=1/2 A_1 A_11 A_9=1/2∙120^o=60^o ∠A_6 A_9 B=1/2 A_2 A_4 A_6=1/2∙120^o=60^o т.к. сумма углов треугольника 180^o, то ∠A_1 BA_2=∠A_6 BA_9=60^o, т.е. ∆A_1 A_2 B и ∆A_6 A_9 B- правильный. ∠A_1 A_6 A_7- вписанный, ∠A_1 A_6 A_7=1/2 A_1 A_10 A_7=90^o, т.е. A_6 A_1⊥ A_1 A_12 и OH_2⊥A_1 A_12⟹ OH_2 ||A_1 A_6 Так же и ∠A_12 A_1 A_6=90^o,A_1 A_6⊥A_6 A_7 и OH_1⊥A_6 A_7⟹ OH_1 ||A_1 A_6 Получаем, что 4-угольник A_1 A_6 H_1 H_2- прямоугольный, т.е. A_1 A_6=H_1 H_2=2r.