Решение упражнения номер 1097 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1097

Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1097. Дано: ABCDEF- описанный правильный 6-угольник. A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1- вписанный правильный 6-угольник. Найти: S_1:S_2 A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1- вписанный в окружность, то A_1 B_1=B_1 C_1=⋯=F_1 A_1=R S_(A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1 )=6S_(∆A_1 OB_1 )= =6[1/2 OA_1∙OB_1∙sin∠60^o ]=3∙R∙R∙√3/2=(3√(3R^2 ))/2 OA- биссектриса ∠A_1 OF_1⟹∠A_1 OA=30^o. A_1 A=x, получим OA=2x. По теореме Пифагора: A_1 A^2+OA_1^2=OA^2. x^2+R^2=4x^2. 3x^2=R^2⇒x=(R√3)/3. AB=(2√3 R)/3. S_ABCDEF=6S_∆AOB=6∙[1/2 OA∙OB∙sin∠60^o ]= =3∙((2√3 R)/3)^2∙√3/2=(4∙3∙R^2∙√3)/(3∙2)=2√3 R^2 S_(A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1 ): S_ABCDEF=(3√3 R^2)/2: 2√3 R^2=(3√3)/(2∙2√3)=3/4