Решение упражнения номер 1009 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1009

Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле АА1 =1/2 корень(2АС2 + 2АВ2 — ВС2). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1009. а) Дано: ∆ABC. AA_1- медиана. Доказать: AA_1=1/2 √(2AC^2+2AB^2-CB^2 ). Доп. построение: продлим AA_1: AA_1=A_1 A_3, получим CABA_2- параллелограмм. По свойству параллелограмма 〖AA_2〗^2 +CB^2=AC^2+AB^2+BA_2^2+CA_2^2 〖AA_2〗^2=2AC^2+2AB^2-CB^2 AA_2=√(2AC^2+2AB^2-CB^2 ), AA_1=1/2 √(2AC^2+2AB^2-CB^2 ), что и требовалось доказать. б) Дано: ∆ABC. AN=CM. Доказать: AB=BC. CM=√(2〖BC〗^2+2AC^2-AB^2 )/2. AN=√(2AB^2+2AC^2-CB^2 )/2. т.к. AN=MC, то 1/2 √(2BC^2+2AC^2-AB^2 )=1/2 √(2AB^2+2AC^2-BC^2 ) 2BC^2+2AC^2-AB^2=2AB^2+2AC^2-BC^2. 3BC^2=3AB^2. BC=AB что и требовалось доказать.