Решение упражнения номер 1008 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 1008

Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM2 + СМ2) — (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же значение.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1008. Дано: ABCD- параллелограмм Доказать, что для всех точек М величина (AM^2+CM^2 )-(BM^2+DM^2 )=const. Введем систему координат так, как показано на рисунке. A(0.0),B(b.c),C(a+b.c),D(a.0). AM^2=x^2+y^2 CM^2=(a+b-x)^2+(c-y)^2 BM^2=(b-x)^2+(c-y)^2 DM^2=(a-x)^2+y^2 (AM^2+CM^2 )-(BM^2+DM^2 )= =x^2+y^2+(a+b-x)^2+(c-y)^2-(b-x)^2-(c-y)^2-(a-x)^2-y^2= =x^2+(a+b-x)^2-(b-x)^2-(a-x)^2= =x^2+a^2+b^2+x^2+2ab-ax-2bx-b^2+2bx-x^2-a^2+ +2ax-x^2=2ab не зависит от координат точки M.