Решение упражнения номер 1007 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

Задание 1007

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1007. Дано: ABCD- трапеция. M∈AC,AM=MC,N∈BD,BN=ND. Доказать: MN=1/2 (AD-BC). (MN) ⃗=(MA) ⃗+(AD) ⃗+(DN) ⃗ (MN) ⃗=(MC) ⃗+(CB) ⃗+(BN) ⃗ 2(MN) ⃗=((MA) ⃗+(MC) ⃗ )+((AD) ⃗+(CB) ⃗ )+((DN) ⃗+(BN) ⃗) т.к. N и M середины сторон BD и AC, то (MA) ⃗+(MC) ⃗=0,(DN) ⃗+(BN) ⃗=0 т.е. 2(MN) ⃗=(AD) ⃗+(CB) ⃗ или 2(MN) ⃗=(AD) ⃗-(BС) ⃗ (MN) ⃗=1/2 ((AD) ⃗-(BС) ⃗ ), т.к. (AD) ⃗↑↑(BС) ⃗ и (MN) ⃗↑↑(AD) ⃗, то |(AD) ⃗-(BС) ⃗ |=AD-BC, откуда MN=1/2 (AD-BC), что и требовалось доказать.