Развивай мышление. Представьте в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться) числа:
а) нечётные, большие 5, но меньшие 20;
б) чётные, большие 2, но меньшие 20.
Сформулируйте предложения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.
Рассматриваем суммы не менее чем из двух слагаемых. Слагаемые могут повторяться.
а)
7 = 5 + 2.
9 = 7 + 2.
11 = 5 + 3 + 3.
13 = 11 + 2.
15 = 13 + 2.
17 = 7 + 5 + 5.
19 = 17 + 2.
Для 11 и 17 нужны три слагаемых. Если нечётное число представить суммой двух простых, одно из них должно быть 2. Но 11 − 2 = 9 и 17 − 2 = 15 – составные числа, поэтому двух простых слагаемых здесь недостаточно.
б)
4 = 2 + 2.
6 = 3 + 3.
8 = 5 + 3.
10 = 5 + 5.
12 = 7 + 5.
14 = 11 + 3.
16 = 13 + 3.
18 = 13 + 5.
В рассмотренном диапазоне каждое чётное число больше 2 получилось представить суммой двух простых чисел. Для нечётных чисел от 7 до 19 достаточно двух или трёх простых слагаемых.
По этим примерам можно высказать предположения: каждое чётное число больше 2 можно представить суммой двух простых чисел; каждое нечётное число больше 5 – суммой не более трёх простых чисел.
Пояснения
Слагаемых должно быть хотя бы два, иначе простые числа 7, 11 и другие можно было бы просто оставить без представления суммой. Для нечётной суммы двух простых одно слагаемое обязательно 2: два нечётных простых дают чётную сумму.
Для 7, 9, 13, 15 и 19 разность с 2 простая, поэтому достаточно двух слагаемых. Но 11 − 2 = 9 и 17 − 2 = 15 составные; здесь берём три слагаемых, например 5 + 3 + 3 и 7 + 5 + 5. Все перечисленные чётные числа от 4 до 18 удалось представить двумя простыми. Это подтверждает предположение для проверенных чисел, но само по себе не доказывает его для всех натуральных чисел.