Развивай воображение. Найдите кратчайший путь на поверхности куба (рис. 2.2) из точки K в точку L:
а) который проходит через точку M;
б) который пересекает все горизонтальные рёбра куба, кроме ребра KL.
Рис. 2.2
а) На левой грани соединяем K и M диагональю. Затем проводим путь из M через середину P верхнего переднего ребра к L.
Пояснения
Из K в M кратчайший путь проходит по диагонали левой грани. Чтобы найти кратчайший путь из M в L, развернём верхнюю и переднюю грани в один прямоугольник. На развёртке соединяем M и L отрезком. Он пересекает общую сторону квадратов в её середине P.
После сгибания развёртки получаем путь K – M – P – L.
б) Обозначим через A нижнюю заднюю левую вершину куба, через B – верхнюю переднюю правую. У маршрута K – A – M – B – L нижнее заднее ребро затрагивается в A, нижнее правое – в L, верхние – в M и B. Поэтому одна вершина может обеспечить касание сразу нескольких рёбер. Это решение допускает касание в вершинах. Если нужно пересечение внутренних точек всех указанных рёбер, приведённый путь служит предельным: места пересечений можно приближать к вершинам, но кратчайший путь при таком строгом условии не достигается.
б) Обозначим через A нижнюю заднюю левую вершину куба, а через B – верхнюю переднюю правую. Кратчайший маршрут с касанием рёбер в вершинах: K – A – M – B – L.
Идём по нижнему левому ребру KA, затем по вертикальному ребру AM, по диагонали верхней грани MB и по вертикальному ребру BL. Нижнее заднее ребро затрагиваем в A, нижнее правое – в L, а все четыре верхних – в M и B. Через внутренние точки ребра KL путь не проходит.
Если в условии требуется пересечь каждое ребро именно внутри, а не коснуться его вершины, кратчайшего пути нет: можно проводить всё более короткие маршруты, приближая места пересечения к этим вершинам. Поэтому нужно уточнить, допускается ли касание ребра в вершине.