Существуют ли среди точек А, В, С и D точки, координаты которых простые числа (рис. 2.1), если p – простое число?
Рис. 2.1
По рисунку координаты точек равны: A(p − 1), B(p + 1), C(2p), D(3p).
Если p = 2, то точка B имеет простую координату 3. Если p = 3, то простая координата 2 у точки A.
Если простое число p > 3, то p нечётное, а числа p − 1 и p + 1 – чётные и больше 2, поэтому составные. Числа 2p и 3p также составные: они делятся на p, кроме 1 и самих себя.
Следовательно, подходящие точки существуют только при p = 2 или p = 3.
Пояснения
Проверку начинаем с наименьшего простого p = 2: координата B равна 3, поэтому B подходит. При p = 3 координата A равна 2, и подходит уже A.
Все простые p больше 3 нечётные. Тогда p − 1 и p + 1 – чётные числа больше 2, поэтому ни A, ни B не подходят. Координаты C и D равны 2p и 3p; они имеют делитель p и больше него. Поэтому простыми эти координаты быть не могут ни в одном из случаев.