1) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два четных числа; б) четное и нечетное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два четных числа; б) четное и нечетное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
1) Могут ли быть взаимно простыми?
а) Нет. У двух чётных чисел есть общий делитель 2.
б) Да. Например, НОД(9; 14) = 1.
в) Да. Любые два различных простых числа взаимно простые, например 3 и 5.
г) Да. Например, НОД(7; 12) = 1.
д) Да. Любые два последовательных натуральных числа взаимно простые.
2) Всегда ли взаимно простые?
а) Нет, никогда: оба числа делятся на 2.
б) Не всегда: например, НОД(13; 26) = 13.
в) Два различных простых числа всегда взаимно простые. Если допустить одинаковые простые числа, утверждение неверно: НОД(3; 3) = 3.
г) Не всегда: например, НОД(7; 21) = 7.
д) Всегда. Общий делитель соседних натуральных чисел делит и их разность, равную 1. Поэтому их НОД равен 1.
Пояснения
Два чётных числа всегда имеют общий делитель 2, поэтому взаимно простыми быть не могут. Чётное и нечётное могут быть взаимно простыми, например 2 и 3, но не обязаны: 6 и 9 имеют общий делитель 3.
Два различных простых числа всегда взаимно простые: делители каждого – только 1 и оно само. Если разрешено взять одно и то же простое дважды, утверждение «всегда» уже неверно, например для 5 и 5. Простое и составное могут быть взаимно простыми (5 и 6), но могут иметь общий делитель (3 и 6).
Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые. Если бы d делило оба, оно делило бы и их разность 1; значит, d = 1. Именно это отличает ответы «могут» и «всегда» в двух частях задания.