Определи, по какому правилу составлена последовательность чисел, и запиши пропущенные числа:
13 546, 14 547, 15 548, …, …, …, 19 552.
Каждое следующее число на 1 001 больше предыдущего.
13 546, 14 547, 15 548, 16 549, 17 550, 18 551, 19 552.
13 546 + 1 001 = 14 547;
14 547 + 1 001 = 15 548;
15 548 + 1 001 = 16 549;
16 549 + 1 001 = 17 550;
17 550 + 1 001 = 18 551;
18 551 + 1 001 = 19 552.
Пояснения
Шаг 1. Сравниваем первое и второе числа последовательности.
Вычисляем разность: 14 547 — 13 546 = 1 001.
Проверяем вторую пару: 15 548 — 14 547 = 1 001.
Одинаковая разность показывает правило ряда: каждый раз прибавляется 1 001.
В числе 1 001 одна тысяча и одна единица, поэтому при переходе увеличиваются тысячи и единицы.
Находим первое пропущенное число: 15 548 + 1 001 = 16 549.
Находим второе пропущенное число: 16 549 + 1 001 = 17 550.
Шаг 2. Находим третье пропущенное число: 17 550 + 1 001 = 18 551.
Проверяем переход к последнему данному числу: 18 551 + 1 001 = 19 552.
Во всех шести переходах прибавлено одно и то же число.
Пропущенные числа расположены между 15 548 и 19 552 по возрастанию.
Обратная проверка: 19 552 — 1 001 = 18 551.
Записываем полный ряд без пропусков: 13 546, 14 547, 15 548, 16 549, 17 550, 18 551, 19 552.
Какие однозначные числа можно записать в окошко, чтобы при делении суммы 30 + □ на 4 получался остаток? Запиши эти числа в порядке уменьшения.
9, 8, 7, 5, 4, 3, 1, 0.
30 + 9 = 39; 39 : 4 = 9 (остаток 3).
30 + 8 = 38; 38 : 4 = 9 (остаток 2).
30 + 7 = 37; 37 : 4 = 9 (остаток 1).
30 + 5 = 35; 35 : 4 = 8 (остаток 3).
30 + 4 = 34; 34 : 4 = 8 (остаток 2).
30 + 3 = 33; 33 : 4 = 8 (остаток 1).
30 + 1 = 31; 31 : 4 = 7 (остаток 3).
30 + 0 = 30; 30 : 4 = 7 (остаток 2).
Пояснения
Шаг 1. В окошко можно подставлять однозначные числа от 0 до 9.
После сложения с 30 получаются числа от 30 до 39.
Остаток появляется тогда, когда полученная сумма не делится на 4 нацело.
Среди чисел от 30 до 39 без остатка на 4 делятся только 32 и 36.
Равенство 32 : 4 = 8 показывает, что для суммы 32 остатка нет.
Число 32 получается при подстановке 2, потому что 30 + 2 = 32.
Равенство 36 : 4 = 9 показывает, что для суммы 36 остатка тоже нет.
Число 36 получается при подстановке 6, потому что 30 + 6 = 36.
Следовательно, цифры 2 и 6 не подходят.
Проверяем цифры 0 и 1: суммы 30 и 31 дают остатки 2 и 3.
Шаг 2. Цифра 3 даёт сумму 33 и остаток 1.
Цифра 4 даёт сумму 34 и остаток 2.
Цифра 5 даёт сумму 35 и остаток 3.
Цифры 7, 8 и 9 дают суммы 37, 38 и 39 с остатками 1, 2 и 3.
Каждый остаток меньше делителя 4, поэтому записи выполнены правильно.
Собираем все подходящие цифры: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9.
По условию требуется порядок уменьшения, поэтому начинаем с наибольшей цифры.
Получаем окончательный ряд: 9, 8, 7, 5, 4, 3, 1, 0.
Проверка полноты: из десяти однозначных чисел исключены только 2 и 6.
Запиши значения массы в порядке увеличения: 8 ц, 800 г, 8 т, 80 т, 8 кг.
800 г, 8 кг, 8 ц, 8 т, 80 т — в порядке увеличения.
800 г = 0 кг 800 г;
8 кг = 8 000 г;
8 ц = 800 кг;
8 т = 8 000 кг;
80 т = 80 000 кг.
Пояснения
Шаг 1. Чтобы надёжно сравнить массы, приводим их к килограммам или граммам.
Один килограмм содержит 1 000 граммов.
Поэтому 800 г меньше 1 кг и тем более меньше 8 кг.
Восемь килограммов равны 8 000 г.
Один центнер содержит 100 кг.
Восемь центнеров равны 8 · 100 = 800 кг.
Следовательно, 8 кг меньше 8 ц.
Одна тонна содержит 1 000 кг.
Восемь тонн равны 8 · 1 000 = 8 000 кг.
Шаг 2. Поэтому 8 ц, то есть 800 кг, меньше 8 т.
Восемьдесят тонн равны 80 · 1 000 = 80 000 кг.
Очевидно, 8 т меньше 80 т, потому что 8 < 80 при одинаковой единице массы.
Получаем цепочку в килограммах: 0,8 кг < 8 кг < 800 кг < 8 000 кг < 80 000 кг.
Возвращаемся к исходным обозначениям величин.
Сначала записываем 800 г, затем 8 кг, после них 8 ц, 8 т и 80 т.
Каждая следующая масса больше предыдущей.
Все пять значений из условия использованы по одному разу.
Итоговая последовательность записана от наименьшей массы к наибольшей.
Сравнение в килограммах показывает разряд величин: 800 г = 0,8 кг, 8 ц = 800 кг, 8 т = 8 000 кг, 80 т = 80 000 кг. Поэтому порядок определён однозначно.
Восстанови пропущенные цифры и выполни вычисления.
27 63□ + 8□99 = 3□430
900 900 — □8□85 = □7191□
6 248 · □ = 56 232
36 13□ : 8 = □
27 631 + 8 799 = 36 430;
900 900 — 28 985 = 871 915;
6 248 · 9 = 56 232;
36 136 : 8 = 4 517.
Пояснения
Шаг 1. В первом вычислении получаем 27 631 + 8 799 = 36 430.
Начинаем восстановление первого примера с разряда единиц.
В результате стоит 0 единиц, а во втором слагаемом находятся 9 единиц.
Чтобы сумма единиц оканчивалась нулём, в пустом месте должна стоять цифра 1: 1 + 9 = 10.
Ноль записываем в единицы результата, а 1 десяток переносим.
Складываем десятки: 3 + 9 + 1 = 13.
В результате записываем 3 десятка и переносим 1 сотню.
Для сотен требуется получить цифру 4. Вычисляем 6 + 7 + 1 = 14.
Поэтому во втором слагаемом на месте сотен стоит 7, а 1 тысяча переносится дальше.
Складываем тысячи: 7 + 8 + 1 = 16. В результате пишем 6 и переносим 1 десяток тысяч.
Последний старший разряд: 2 + 1 = 3. Поэтому первая цифра результата равна 3; цифра 6 в разряде тысяч была получена на предыдущем шаге.
Первое восстановленное равенство: 27 631 + 8 799 = 36 430.
Во втором вычислении получаем 900 900 — 28 985 = 871 915.
В единицах из 0 нельзя вычесть 5, поэтому выполняем заимствование через разряд десятков.
Из 9 сотен берём одну сотню, превращаем её в 10 десятков и один десяток передаём в единицы.
Получаем 10 — 5 = 5 единиц, а в разряде десятков остаётся 9.
Вычитаем десятки: 9 — 8 = 1.
В сотнях после первого заимствования осталось 8, но из 8 нельзя вычесть неизвестную цифру так, чтобы получить 9.
Занимаем один разряд у старшей части числа через нулевые тысячи и десятки тысяч.
В разряде сотен становится 18. Чтобы получить 9, надо вычесть 9: 18 — 9 = 9.
После цепочки заимствований в тысячах остаётся 9. Из 9 вычитаем 8 и получаем 1.
В десятках тысяч остаётся 9. Чтобы в результате получить 7, вычитаем 2.
В сотнях тысяч после заимствования остаётся 8.
Значит, вычитаемое равно 28 985, а разность равна 871 915.
Проверка сложением: 871 915 + 28 985 = 900 900.
Шаг 2. В третьем вычислении получаем 6 248 · 9 = 56 232.
Цифру множителя определяем по единицам: произведение 8 на искомую цифру должно оканчиваться цифрой 2.
Подходят 4 и 9, потому что 8 · 4 = 32 и 8 · 9 = 72.
Проверяем цифру 4 по десяткам: 4 · 4 + 3 = 19, но в результате указан десяток 3.
Следовательно, цифра 4 не подходит, а множитель равен 9.
Умножаем единицы: 8 · 9 = 72, пишем 2 и переносим 7 десятков.
Умножаем десятки: 4 · 9 + 7 = 43, пишем 3 и переносим 4 сотни.
Умножаем сотни: 2 · 9 + 4 = 22, пишем 2 и переносим 2 тысячи.
Умножаем тысячи: 6 · 9 + 2 = 56.
Получаем полное произведение 56 232, совпадающее с данным результатом.
В четвёртом вычислении получаем 36 136 : 8 = 4 517.
Первое неполное делимое равно 36 тысячам. В частном будет четыре цифры.
Делим 36 на 8: берём 4, потому что 4 · 8 = 32, а 5 · 8 уже больше 36.
Вычитаем 36 — 32 = 4 и сносим следующую цифру 1. Получаем 41.
Делим 41 на 8: берём 5, потому что 5 · 8 = 40.
Вычитаем 41 — 40 = 1 и сносим цифру 3. Получаем 13.
Делим 13 на 8: берём 1, потому что 1 · 8 = 8.
Вычитаем 13 — 8 = 5. Теперь надо подобрать последнюю цифру делимого.
После сноса последней цифры должно получиться число от 50 до 59, которое делится на 8 без остатка.
В этом промежутке на 8 делится число 56, потому что 56 : 8 = 7.
Значит, пропущенная цифра делимого равна 6, а последняя цифра частного равна 7.
Проверяем умножением: 4 517 · 8 = 36 136.
Во всех четырёх примерах каждая найденная цифра проверена соответствующим обратным действием.
Поставь скобки так, чтобы равенство стало верным: 1 540 — 1 000 : 6 — 30 = 60.
(1 540 1— 1 000) 2: 6 3— 30 = 60.
1) 1 540 — 1 000 = 540;
2) 540 : 6 = 90;
3) 90 — 30 = 60.
Ответ: (1 540 — 1 000) : 6 — 30 = 60.
Пояснения
Шаг 1. Без скобок сначала пришлось бы делить 1 000 на 6, но такое действие не даёт нужного целого результата.
Чтобы получить число, которое можно разделить на 6, объединяем вычитание 1 540 — 1 000.
Ставим открывающую скобку перед 1 540 и закрывающую после 1 000.
Теперь первым действием выполняется выражение в скобках.
Вычисляем 1 540 — 1 000 = 540.
После скобок деление выполняется раньше последующего вычитания.
Делим 540 на 6 и получаем 90.
Последним действием вычитаем 30.
Вычисляем 90 — 30 = 60.
Шаг 2. Полученный результат совпадает с правой частью равенства.
Синие числа над знаками показывают порядок трёх действий.
Проверяем всю запись одной цепочкой: (1 540 — 1 000) : 6 — 30 = 540 : 6 — 30 = 90 — 30 = 60.
Скобки изменили обычный порядок и сделали равенство верным.
На нижней полке 18 книг. Это в 3 раза больше, чем на верхней полке. Сколько книг на верхней полке?
Нижняя полка — 18 книг, это в 3 раза больше.
Верхняя полка — ? книг.
18 : 3 = 6 (книг) — на верхней полке.
Ответ: на верхней полке 6 книг.
Пояснения
Шаг 1. Составляем условие: на нижней полке 18 книг, а количество книг на верхней полке неизвестно.
Слова «в 3 раза больше» относятся к нижней полке.
Значит, 18 книг составляют три одинаковые группы по числу книг верхней полки.
Чтобы найти размер одной такой группы, выполняем деление.
Делим количество книг на нижней полке на 3.
Шаг 2. Вычисляем 18 : 3 = 6 книг.
Число 6 показывает количество книг на верхней полке.
Проверяем умножением: 6 · 3 = 18.
Проверка совпала с количеством книг на нижней полке.
Шаг 3. Кроме того, 18 действительно в 3 раза больше 6.
Вычитание здесь не подходит, потому что сказано «в 3 раза», а не «на 3 книги».
Ответ записываем с названием предметов: 6 книг.
Обе полки учтены правильно: для нижней известно число 18, для верхней найдено число 6.
Для ремонта дома купили 900 мелких и 100 крупных гвоздей. Все мелкие гвозди разложили поровну в 3 ящика, а все крупные — поровну в 2 ящика. На сколько больше гвоздей в одном ящике с мелкими гвоздями, чем в одном ящике с крупными?
1) 900 : 3 = 300 (шт.) — мелких гвоздей в одном ящике.
2) 100 : 2 = 50 (шт.) — крупных гвоздей в одном ящике.
3) 300 — 50 = 250 (шт.) — разница.
Решение выражением: 900 : 3 — 100 : 2 = 250 (шт.).
Ответ: в одном ящике с мелкими гвоздями на 250 гвоздей больше.
Пояснения
Шаг 1. Составляем условие и заносим известные данные в таблицу.
| Гвозди | В одном ящике | Количество ящиков | Всего |
|---|---|---|---|
| Мелкие | 300 шт. | 3 | 900 шт. |
| Крупные | 50 шт. | 2 | 100 шт. |
Мелких гвоздей всего 900, и они распределены поровну между тремя ящиками.
Чтобы найти количество мелких гвоздей в одном ящике, общее количество делим на число ящиков.
Вычисляем 900 : 3 = 300 гвоздей.
Проверяем первый результат: 300 · 3 = 900.
Шаг 2. Значит, в каждом из трёх ящиков находится по 300 мелких гвоздей.
Крупных гвоздей всего 100, и они поровну разложены в два ящика.
Количество крупных гвоздей в одном ящике также находим делением.
Вычисляем 100 : 2 = 50 гвоздей.
Проверяем второй результат: 50 · 2 = 100.
Шаг 3. Значит, в каждом из двух ящиков находится по 50 крупных гвоздей.
Теперь сравниваем не общие количества 900 и 100, а содержимое одного ящика каждого вида.
В одном ящике мелких гвоздей 300, а крупных — 50.
Число 300 больше числа 50.
Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, из большего вычитаем меньшее.
Шаг 4. Вычисляем 300 — 50 = 250 гвоздей.
Число 250 показывает разницу между содержимым двух сравниваемых ящиков.
Проверяем сложением: 50 + 250 = 300.
Решение можно записать одним выражением: 900 : 3 — 100 : 2.
Сначала выполняем оба деления, потому что они имеют более высокую ступень, чем вычитание.
Шаг 5. Получаем 300 — 50 = 250.
Если сравнить 900 и 100 напрямую, получится неверный ответ, потому что количество ящиков различается.
Слова «в одном ящике» в вопросе определяют, какие именно значения надо сравнивать.
Единицу измерения записываем как штуки, а в ответе называем гвозди.
Итог согласуется с таблицей: 300 шт. на 250 шт. больше, чем 50 шт.
Разность 300 — 50 = 250 подтверждает, на сколько гвоздей больше в первом ящике.
Длина огорода прямоугольной формы 20 м, а ширина в 2 раза меньше.
1) Сколько метров сетки потребуется, чтобы огородить его со всех сторон?
2) Найди площадь огорода.
1) 20 : 2 = 10 (м) — ширина огорода.
2) (20 + 10) · 2 = 60 (м) — потребуется сетки.
3) 20 · 10 = 200 (м²) — площадь огорода.
Ответ: 1) потребуется 60 м сетки; 2) площадь огорода 200 м².
Пояснения
Шаг 1. Сначала находим неизвестную ширину прямоугольного огорода.
Ширина в 2 раза меньше длины 20 м, поэтому длину делим на 2.
Вычисляем 20 : 2 = 10 м.
Проверяем: 10 · 2 = 20, значит, ширина действительно вдвое меньше длины.
Изображаем огород прямоугольником со сторонами 20 м и 10 м.
Шаг 2. В первом подпункте требуется определить длину сетки по всей границе огорода.
Длина границы прямоугольника является его периметром.
У прямоугольника две стороны по 20 м и две стороны по 10 м.
Периметр можно найти сложением: 20 + 10 + 20 + 10 = 60 м.
Также используем формулу P = (a + b) · 2.
Шаг 3. Подставляем значения: P = (20 + 10) · 2.
Сначала складываем 20 + 10 = 30, затем вычисляем 30 · 2 = 60 м.
Значит, чтобы огородить участок со всех сторон, потребуется 60 м сетки.
Во втором подпункте требуется найти площадь.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
Шаг 4. Подставляем размеры: S = 20 · 10 = 200 м².
Метры применяем для длины сетки, а квадратные метры — для площади поверхности.
Проверяем разумность: прямоугольник содержит 20 полос по 10 квадратных метров.
В каждом подпункте записываем свой результат отдельно.
Окончательные ответы равны 60 м сетки и 200 м² площади.
Из двух квадратов с длиной стороны 2 см сложили прямоугольник. Сделай чертёж. Найди периметр и площадь этого прямоугольника.
1) 2 + 2 = 4 (см) — длина прямоугольника.
2) (4 + 2) · 2 = 12 (см) — периметр.
3) 4 · 2 = 8 (см²) — площадь.
Площадь вторым способом: (2 · 2) · 2 = 8 (см²).
Ответ: периметр прямоугольника 12 см, площадь 8 см².
Пояснения
Шаг 1. Берём два одинаковых квадрата со стороной 2 см.
Располагаем их рядом так, чтобы одна сторона первого квадрата полностью совпала со стороной второго.
На чертеже общая фигура разделена внутренним отрезком на два квадрата.
Высота полученного прямоугольника совпадает со стороной квадрата и равна 2 см.
Длина состоит из двух сторон квадратов, лежащих на одной прямой.
Складываем 2 + 2 = 4 см.
Шаг 2. Значит, размеры прямоугольника равны 4 см и 2 см.
Внутренняя общая сторона квадратов не входит во внешнюю границу прямоугольника.
Чтобы найти периметр, складываем только четыре внешние стороны.
Первый способ: 4 + 2 + 4 + 2 = 12 см.
Второй способ: удваиваем длину и ширину, 4 · 2 + 2 · 2 = 8 + 4 = 12 см.
Третий способ: складываем длину и ширину, затем сумму удваиваем.
Шаг 3. Вычисляем P = (4 + 2) · 2 = 6 · 2 = 12 см.
Все три способа дают одинаковый периметр.
Теперь находим площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.
Вычисляем S = 4 · 2 = 8 см².
Площадь можно проверить по двум исходным квадратам.
Шаг 4. Площадь одного квадрата равна 2 · 2 = 4 см².
Таких квадратов два, поэтому их общая площадь равна 4 · 2 = 8 см².
Два способа вычисления площади дали один результат.
Единица периметра — сантиметр, потому что измеряется длина границы.
Единица площади — квадратный сантиметр, потому что измеряется часть плоскости.
Разделяющий отрезок на чертеже показывает состав фигуры, но не добавляется к периметру.
Проверяем соотношение сторон: длина 4 см ровно в 2 раза больше ширины 2 см.
Шаг 5. Полученная фигура действительно является прямоугольником, составленным из двух равных квадратов.
Если считать периметры двух квадратов отдельно, получилось бы 8 + 8 = 16 см, но общая сторона длиной 2 см была бы учтена дважды.
Вычитаем две длины общей стороны: 16 — 2 — 2 = 12 см, что ещё раз подтверждает найденный периметр прямоугольника.
Записываем два окончательных результата: 12 см и 8 см².
Прямоугольник имеет размеры 4 см и 2 см, поэтому обе формулы дают согласованные результаты.