Решение упражнения номер 914 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

914

Докажите,чтоесли векторы а и b не коллинеарны,то:а) векторы а + b иа-b не коллинеарны; б) векторы 2а -b и а + b не коллинеарны; в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 914. Дано: a ⃗ и b ⃗ не коллинеарны. Доказать: a ⃗+b ⃗ и a ⃗-b ⃗ не коллинеарны. Доказательство от противного. Пусть a ⃗+b ⃗ и a ⃗-b ⃗ коллинеарные, получим a ⃗+b ⃗=k(a ⃗-b ⃗), откуда a ⃗+b ⃗=ka ⃗-kb ⃗.a ⃗(1-k)=b ⃗(-1-k).a ⃗=(-1-k)/(1-k) b ⃗, пусть (-1-k)/(1-k)=d. тогда a ⃗=db ⃗ противоречие, т.к. a ⃗ и b ⃗ не коллинеарны, следовательно a ⃗+b ⃗ и a ⃗-b ⃗ не коллинеарны. Доказать: (2a ⃗-b ⃗) и (a ⃗+b ⃗) не коллинеарны. Доказательство от противного. Пусть (2a ⃗-b ⃗) и (a ⃗+b ⃗)коллинеарные, (2a ⃗-b ⃗ )=k(a ⃗+b ⃗), откуда 2a ⃗-b ⃗=ka ⃗+kb ⃗, a ⃗(2-k)=b ⃗(k+1), a ⃗=(k+1)/(2-k) b ⃗, т.е. a ⃗=db ⃗ – противоречие, т.к. a ⃗ и b ⃗ не коллинеарны по условию. Доказать: (a ⃗+b ⃗) и (a ⃗-3b ⃗) не коллинеарные. Доказательство от противного. Пусть (a ⃗+b ⃗) и (a ⃗+3b ⃗) коллинеарные, тогда (a ⃗+b ⃗ )=k(a ⃗+3b ⃗) откуда a ⃗+b ⃗=ka ⃗+3kb ⃗, a ⃗(1-k)=b ⃗(3k-1), a ⃗=(3k-1)/(1-k) b ⃗, т.е. a ⃗=db ⃗ – противоречие, т.к. a ⃗ и b ⃗ не коллинеарны по условию.