Решение упражнения номер 902 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

902

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 902 Пусть A1, B1 и C1 – данные точки, H – точка пересечения биссектрис ΔA1B1C1. Построим сначала остроугольный ΔABC, для которого отрезки AA1, BB1 и CC1 являются высотами. Проведем через точки A1, B1 и C1 прямые, перпендикулярные соответственно к A1H, B1H и C1H. Точки пересечения этих прямых обозначим буквам A, B и C ΔABC – искомый. Вершина A этого треугольника лежит на прямой A1H, а значит, прямая AA1 перпендикулярна к прямой BC по построению. Следовательно, отрезок AA1 – высота треугольника ABC. Аналогично доказывается, что отрезки BB1 и CC1 являются высотами этого треугольника. Осталось доказать, что треугольник ABC – остроугольный. Докажем, например, что угол A – острый. Имеем: ∠B_1 HC_1=180°-∠B_1/2-∠C_1/2=180°-(∠B_1+∠C_1)/2=180°-(180°-∠A_1)/2=90°+∠A_1/2>90°⇒∠A=360°-90°-90°-∠B_1 HC_1<90°. Аналогично доказывается, что углы A1HC и A1HB1 – тупые, а значит, углы B и C – острые. По рисунку видно, что в каждом из трех тупоугольных треугольников ABH, BCH и ACH точки A1, B1 и C1 также являются основаниями высот. Таким образом, мы построили четыре треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Проверим, имеет ли задача другие решения. Рассмотрим остроугольный треугольник A2B2C2, для которого точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот. Пусть H1 – точка пересечения высот этого треугольника. Тогда лучи A1H1, B1H1 и C1H1 являются биссектрисами углов ΔA1B1C1 ⇒ точки H1 и H совпадают, а значит, ΔA2B2C2 совпадает с треугольником ABC. Таким образом, других остроугольных треугольников, удовлетворяющих условию задачи, нет. Рассмотрим теперь тупоугольный ΔA2B2H1 с тупым углом H1, для которого отрезки A2B1, B2A1 и H1C1 являются высотами. Пусть C2 – точка пересечения высот этого треугольника. Так как ΔA2B2B1 и ΔB2A2A1 – прямоугольные, то углы A2 и B2 ΔA2B2C2 – острые. Угол C2 этого треугольника – также острый, поскольку ∠C_2=180°-∠A_2-∠B_2=180°-(90°-∠A_2 B_2 H_1 )-(90°-∠B_2 A_2 H_1 )=∠A_2 B_2 H_1+∠B_2 A_2 H_1<90°, так как угол H1 ΔA2B2H1 – тупой. Таким образом, ΔA2B2C2 – остроугольный, причем точки A1, B1 и C1 – основания его высот. Значит, он совпадает с ΔABC. Но тогда и ΔA2B2H1 совпадает с ΔABH. Следовательно, задача имеет четыре решения. Ответ: четыре решения.