Решение упражнения номер 801 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

801

Докажите, что для любых векторов х и у справедливы неравенства |x|-|y|<|[+y|<|x|+|y|.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 801 Если x ⃗=0 ⃗ или y ⃗=0 ⃗, то неравенство очевидно. Пусть (AB) ⃗=x ⃗, (BC) ⃗=y ⃗, тогда |x ⃗ |=AB, |y ⃗ |=BC, |x ⃗+y ⃗ |=AC Пусть x ⃗ и y ⃗ – не коллинеарны, тогда векторы x ⃗, y ⃗ и x ⃗+y ⃗ можно представить как стороны некоторого треугольника. Из неравенства треугольника следует, что AC < AB + BC → |x ⃗+y ⃗ |<|x ⃗+y ⃗ | и AB < AC + BC → AC ˃ AB – BC → |x ⃗+y ⃗ |>|x ⃗ |-|y ⃗ |, следовательно |x ⃗ |-|y ⃗ |<|x ⃗+y ⃗ |<|x ⃗ |+|y ⃗|. Пусть теперь x ⃗↑↑y ⃗ тогда |x ⃗+y ⃗ |=|x ⃗ |+|y ⃗| (см. задачу 800). И при x ⃗↑↓y ⃗ получаем |x ⃗+y ⃗ |=|x ⃗ |-|y ⃗| (см. задачу 800). Значит в общем случае |x ⃗ |-|y ⃗ |≤|x ⃗+y ⃗ |≤|x ⃗ |+|y ⃗|.