Решение упражнения номер 723 – Геометрия 8 класс Атанасян Л.С.

723

Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 8 класс Атанасян: 723 Пусть P и Q - точки, в которых окружность касается оснований BC и AD трапеции ABCD, О – центр этой окружности. Прямая OP перпендикулярна к прямой BC. Следовательно, она перпендикулярна и к прямой, а значит, проходит через точку Q (иначе из точки O оказалось бы проведено два перпендикуляра к прямой AD, что невозможно). Иными словами, отрезок PQ – диаметр окружности. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции. Следовательно, по теореме Фалеса, она пересекает отрезок PQ в его середине, т.е. проходит через центр O окружности.