Решение упражнения номер 532 – Геометрия 8 класс Атанасян Л.С.

532

В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если:а) угол А острый, то ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АС x АН;б) угол А тупой, то ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС x АН.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 8 класс Атанасян: 532 В треугольнике ABC с высотой BH зададим. Высота BH – общий катет двух прямоугольных треугольников ABH и BCH. а) Для ΔABH имеем BH2 = AB2 – AH2. Для ΔBHC имеем BH2 = BC2 – HC2, откуда AB2 – AH2 = BC2 – HC2 → BC2 = AB2 –AH2 + HC2 = AB2 + (AC – AH)2 – AH2 = AB2 + AC2 – 2AC • AH + AH2 – AH2 = AB2 + AC2 – 2AC • AH. Что требовалось доказать. В случае, если ∠C = 90° (ΔABC - прямоугольный), то AH = AC и BC2 = AB2 + AC2 – 2AC • AH = AB2 - AC2, что выражает теорему Пифагора. б) Для ΔABH имеем BH2 = AB2 – AH2. Для ΔBHC имеем BH2 = BC2 – HC2, откуда AB2 – AH2 = BC2 – HC2 → BC2 = AB2 – AH2 + HC2 = AB2 + (AC + AH)2 – AH2 = AB2 + AC2 + 2AC • AH + AH2 – AH2 = AB2 + AC2 + 2AC • AH. Что и требовалось доказать. Глава VII. Подобные треугольники §1. Определение подобных треугольников