Докажите теорему Фалеса1: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.РешениеПусть на прямой l1 отложены равные отрезки A1A2, А2А3, А3А4, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3. Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и 12 параллельны (рис. 165, а). Тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов A1B1B2A2 и А2В2В3А3. Так как А1А2 — А2А3, то и В1В2 = В2В3. Если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведём прямую l, параллельную прямой l1 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D. Так как A1A2 = А2А3, то по доказанному B1C = CD. Отсюда получаем: В1В2 = В2В3 (задача 384). Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т. д.
