Решение упражнения номер 221 – Геометрия 7 класс Атанасян Л.С.

221

Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 7 класс Атанасян: 221 Разберем ∆AKN,∆BCK, AK=KB: Имеем NC=KC,∠NKA=∠CKB (вертикальные углы), следовательно ∆AKN=∆BCK (по 1-му признаку: двум сторонам и углу между ними), следовательно ∠KNA=∠KCB. Разберем ∆AEM,∆BEC, ME=EB: Имеем AE=EA, ∠AEM=∠BEC (вертикальные углы), следовательно ∆AEM=∆BEC (по 1-му признаку: двум сторонам и углу между ними), следовательно ∠EBC=∠EMA. ∠EBC,∠EMA – накрест лежащие углы при прямых AM,BC и секущей BM, следовательно AM||BC, ∠KNA,∠KCB – накрест лежащие углы при прямых AN,BC и секущей NC, следовательно AN||BC. AM||BC, AN||BC=>AM||AN, но поскольку прямые AM,AN проходят через одну точку А и параллельны одной и той же прямой ВС, следовательно, по аксиоме параллельных прямых можно утверждать, что AM,AN совпадают, поскольку A,N,M ∈l(лежат на одной прямой).