Решение упражнения номер 1180 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1180

В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника ABC и А1В1С1, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге ABC от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А1В1С1 от точки А, к точке С1. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1180. Случай, когда прямые AA_1,BB_1,CC_1 пересекаются в точке О очевиден, т.к. в этом случае точки A и A_1, B и B_1, C и C_1 должны быть диаметрально противоположны. ∆MNK может лежать внутри и вне круга. Рассмотрим случай, когда он лежит все круга (случай, когда он лежит внутри круга аналогичен). Докажем, что ∆MNK- правильный. {█((B_1 C) ̆=(B_1 C) ̆@(BC) ̆=(B_1 C) ̆=120^o )┤ вычтем, получим: C(C_1 ) ̆=(BB_1 ) ̆, аналогично, C(C_1 ) ̆=(BB_1 ) ̆=(AA_1 ) ̆. {█((AA_1 ) ̆=AA_1=120^o@(B_1 A_1 ) ̆=(AC) ̆ )┤ вычтем, получим: (B_1 A) ̆=(A_1 C) ̆, аналогично, (B_1 A) ̆=(A_1 C) ̆=(BC_1 ) ̆. Пусть (B_1 B) ̆=α, тогда ∠NMK=((A_1 CB) ̆-(AB_1 ) ̆)/2=1/2 (120^o+120^o-α)=1/2∙120^o=60^o, аналогично, ∠NMK=∠MNK=∠MKN=60^o Таким образом, ∆MNK- правильный.1