Решение упражнения номер 1136 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1136

Квадрат А1A2А3А4 вписан в окружность радиуса R (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что А1В1 = А2В2 = А3В3 = А4В4 = A1C1 = А2С2 = А3С3=А4С4 = R. Докажите, что восьмиугольник В1С3В2С4В3С1В4С2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1136. Дано: A_1 A_2 A_3 A_4- квадрат, вписан в Окр(O.R) Доказать: B_1 C_3 B_2 C_4 B_3 C_1 B_4 C_2- правильный Доказательство: Докажем, что все стороны равны: A_1 B_1=A_2 C_2=R, A_1 A_2=A_1 C_2+C_2 B_1+B_1 A_2, если C_2 B_1=x, то x+R-x+R=2R-A_1 A_2 x=2R-A_1 A_2 Аналогично: C_3 B_2=C_4 B_3=C_1 B_4=2R-A_1 A_2, т.к. A_1 A_2=R√2, то C_2 B_1=⋯=B_4 C_1=R(2-√2). Докажем, что C_2 B_1=B_1 C_3. По т.Пифагора из ∆B_1 C_3: B_1 C_3=√(2(R-x)^2 ) B_1 C_3=√2(R-x) Подставим х: B_1 C_3=√2 (R-2R+R√2) B_1 C_3=2R-√2R Получаем, что все стороны равны. Докажем, что все углы равны: ∆A_1 C_2 B_4=∆B_1 A_2 C_3=∆B_2 A_3 C_4=∆B_3 A_4 C_1- прямоугольные равно-бедренные треугольники, острые углы по 45^о. Углы многоугольника являются смежными с внутренними углами треугольника, т.е. ∠C_2=∠B_1=∠C_3=∠B_2=∠C_4=∠B_3=∠C_1=∠B_4=135^o Заключаем, что B_1 C_3 B_2 C_4 B_3 C_1 B_4 C_2- правильный S=8S_(∆B_1 OC_2 ) S_(∆B_1 OC_2 )=1/2 OB_1∙OC_2∙sin∠B_1 OC_2 sin∠B_1 OC_2=45^o (т.к. все углы по 135^о), то в ∆B_1 OC_2: ∠B_1=〖67,5〗^o, ∠C_2=〖67,5〗^o OB_1 и OC_2 выразим через R по т.косинусов: B_1 C_2^2=OB_1^2+OC_2^2-2OB_1∙OC_2∙cos45^o R^2 (2-√2)^2=x^2+x^2-2x^2 √2/2 R^2 (2-√2)^2=x^2 (2-√2)^2⟹x=R√(2-√2) S_(∆B_1 OC_2 )=1/2 R√(2-√2) R√(2-√2) sin45^o=1/2 R^2 (2-√2) √2/2=((2√2-2) R^2)/4 S=8S_(∆B_1 OC_2 )=8 ((√2-1) R^2)/2=4(2√2-2) R^2.