Решение упражнения номер 1117 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1117

Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1117. Дано: ∆ABC- описан около круга (O.r), AB=BC=AC=a Найти: S_круга Решение: AB=r∙2√3, r=a/(2√3)=(a√3)/6 S=πr^2=(πa^2)/12. Дано: ∆ABC- описан около круга (O.r), ∠C=90^o,∠A=α,AC=a Найти: S_круга Решение: AB=a/cosα. BC=atgα Так как CB и CA касательные, то NC+KC=r, т.е. BN=BM=atgα-r AK=AM=a-r получим AM+MB=AB atgα-r+a-r=a/cosα , 2r=a(tgα+1)-a/cosα =(a(sinα+cosα-1))/cosα , r=(a(sinα+cosα-1))/(2 cosα ) S=πR^2=(πa^2 (sinα+cosα-1)^2)/(4 cos^2α ). Дано: ∆ABC- описан около круга (O.r), ∠B=α,AB=AC=a Найти: S_круга Решение: ∆ABC:∠B=α/2. ∠H=90^o.AB=a AH=α/2,BH=a cos α/2. ∆ABH~∆OBE (по 2 углам), т.е. AB/OB=BH/BE=AH/OE a/(acos α/2-r)=(asin α/2)/r, ar=(acos α/2-r)∙asin α/2=1/2 a^2 sinα-arsin α/2 ar(1+sin α/2)=1/2 sin^2α, r=asinα/((1+sin α/2) ) S=πr^2=(πa^2 sin^2α)/4(1+sin α/2) Дано: ABCD- трапеция, описана около круга (O.r), ∠A=α, AB=DC,AD=a. Найти: S_круга Решение: Так как AD и AB- касательные, AM=AF то AO- биссектриса, значит ∠OAF=α/2 ∆OAF:∠F=90^o, ∠A=α/2,AF=a/2,R=OF=AF∙tg∠A. OF=a/2 tg α/2 S=πR^2=π 〖 a〗^2/4 tg^2 α/2.