Петя может покрасить забор за 8 ч, а Миша – за 10 ч. Успеют ли они покрасить весь забор до тренировки, которая начнется через 5 ч?
| Весь забор | За 1 ч | |
| Петя | 8 ч | 18 забора |
| Миша | 10 ч | 110 забора |
1) 18 + 110 = 540 + 440 = 940 – забора покрасят вместе за 1 ч.
2) 940 · 5 = 98 = 118 – столько заборов могли бы покрасить за 5 ч.
3) 118 > 1.
Ответ: да, успеют.
Пояснения
Петя за час красит 18 забора, Миша – 110. При знаменателе 40 это 540 и 440, вместе 940 забора за час. За пять часов производительность соответствует 4540 = 118 забора.
Для вопроса достаточно сравнения с одним забором: 118 > 1, значит, работа закончится до тренировки. Лишняя 18 означает запас производительности за отведённое время, а не необходимость красить больше одного забора.
1) Фарфор может состоять из 1 части полевого шпата, 3 частей кварца и 6 частей каолина (белая глина). Найдите массу вазы, если в ней кварца на 0,24 кг больше, чем полевого шпата.
2) Сплавы магния используют в производстве ракет и авиационных турбин, корпусов приборов, дисков автомобильных колес. Их существует несколько видов. В основном сплав состоит из 1 части алюминия, 2 частей цинка и 18 частей магния. Сколько получилось сплава, если в нем магния на 3,9 т больше, чем цинка?
1)
1) 3 − 1 = 2 (части) – разница между кварцем и полевым шпатом.
2) 0,24 : 2 = 0,12 (кг) – масса одной части.
3) 1 + 3 + 6 = 10 (частей) – всего.
4) 0,12 · 10 = 1,2 (кг) – масса вазы.
Ответ: 1,2 кг.
2)
1) 18 − 2 = 16 (частей) – разница между магнием и цинком.
2) 3,9 : 16 = 0,24375 (т) – масса одной части.
3) 1 + 2 + 18 = 21 (часть) – всего.
4) 0,24375 · 21 = 5,11875 (т) – масса сплава.
Ответ: 5,11875 т.
Пояснения
1) Кварца три части, полевого шпата одна. Разность двух частей равна 0,24 кг, поэтому одна часть 0,12 кг. Ваза содержит 1 + 3 + 6 = 10 частей, общая масса 1,2 кг.
2) Магния 18 частей, цинка две, разность 16 частей равна 3,9 т. Деление 3,9 : 16 даёт 0,24375 т на часть. Всего 1 + 2 + 18 = 21 часть, масса сплава 5,11875 т. Разницу масс делим на разницу частей, а не на число частей одного компонента.
Как разделить поровну семь дынь между 12 гостями, разрезая их на равные части? Количество частей каждой дыни не больше 5.
Три дыни разрежем каждую на 4 равные части: получим 12 четвертинок.
Оставшиеся четыре дыни разрежем каждую на 3 равные части: получим 12 третей.
Каждому гостю дадим одну четверть и одну треть дыни: 14 + 13 = 712 дыни.
Все гости получат поровну; каждую дыню разрезали не более чем на 5 частей.
Который сейчас час, если оставшаяся часть суток в 125 раза больше прошедшей?
Пусть с начала суток прошло x ч. Тогда осталось 125x ч. В сутках 24 ч:
x + 125x = 24;
(1 + 125)x = 24;
225x = 24;
x = 24 : 225 = 24 : 125 = 241 · 512 = 24 · 512 = 24 · 512 = 2 · 51 = 101 = 10.
Ответ: 10 ч утра.
Пояснения
Прошедшее время принимаем за x часов, оставшееся – за 125x. Вместе это 225x = 24 часа. Деление 24 на 125 даёт 10 часов от начала суток, значит, сейчас 10 утра.
Осталось 24 − 10 = 14 часов. Проверка отношения: 14 : 10 = 1,4 = 125. Поэтому искомое время не 14 часов: это оставшаяся, а не прошедшая часть суток.
В небольшом городке 10 памятников архитектуры (рис. 2.14). Туристу хочется посетить их все, не проходя дважды по одной и той же улице. Может ли он это сделать?
Да. Один из подходящих маршрутов показан чёрной линией. Он проходит мимо всех десяти памятников и не использует ни один участок улицы дважды.
В магазине продают два сорта конфет по цене 200 р. и 300 р. Стоимость конфет каждого сорта одинакова. По какой цене надо продавать смесь этих конфет, чтобы не обмануть покупателя и магазину не иметь убытка?
НОК(200; 300) = 600. Пусть конфет каждого сорта взяли на 600 р.
1) 600 : 200 = 3 (кг) – конфеты первого сорта.
2) 600 : 300 = 2 (кг) – конфеты второго сорта.
3) 3 + 2 = 5 (кг) – масса смеси.
4) 600 + 600 = 1200 (р.) – стоимость смеси.
5) 1200 : 5 = 240 (р.) – цена 1 кг.
Ответ: по 240 р. за килограмм.
По рецепту для приготовления трех порций молочного коктейля требуется: 250 г молока, 8 столовых ложек мороженого и по 2 ложки или варенья, или меда, или сиропа. Нужно приготовить коктейль для 8 гостей. Сколько продуктов необходимо для приготовления коктейля? Одна столовая ложка мороженого, варенья, мёда или сиропа содержит 15 г данного продукта.
1) 250 : 3 · 8 = 2503 · 8 = 20003 = 66623 (г) – молоко.
2) 8 · 15 : 3 · 8 = 120 : 3 · 8 = 40 · 8 = 320 (г) – мороженое.
3) 2 · 15 : 3 · 8 = 30 : 3 · 8 = 10 · 8 = 80 (г) – варенье, мёд или сироп.
Ответ: 66623 г молока, 320 г мороженого и 80 г одного из добавляемых продуктов.
Пояснения
Рецепт рассчитан на три порции, а нужно восемь, поэтому каждое количество увеличиваем в 83 раза. Для молока 250 · 83 = 20003 = 66623 г.
Восемь ложек мороженого по 15 г – 120 г на три порции, или 40 г на одну. На восемь порций нужно 320 г. Две ложки выбранной добавки – 30 г на три порции, по 10 г на одну, всего 80 г. Варенье, мёд и сироп предложены на выбор: брать по 80 г каждого не требуется.
Участники благотворительного концерта передали 5,7 млн. р. городу, пострадавшему после наводнения. На ремонт школ и детских садов было использовано 516 этой суммы, на отправку детей на отдых в другие регионы – 316, на ремонт больниц – в 2 раза больше, чем на отдых детей, оставшуюся сумму направили на ремонт стадиона. Сколько денег было направлено на ремонт стадиона и на отдых детей?
1) 5,7 · 516 = 5710 · 516 = 5732 = 1,78125 (млн р.) = 1 781 250 р. – на школы и детские сады.
2) 5,7 · 316 = 5710 · 316 = 171160 = 1,06875 (млн р.) = 1 068 750 р. – на отдых детей.
3) 1 068 750 · 2 = 2 137 500 (р.) – на больницы.
4) 1 781 250 + 1 068 750 + 2 137 500 = 4 987 500 (р.) – израсходовано на эти цели.
5) 5 700 000 − 4 987 500 = 712 500 (р.) – на стадион.
Ответ: на стадион – 712 500 р., на отдых детей – 1 068 750 р.
Пояснения
Все доли отсчитываются от общей суммы 5,7 млн р. На больницы уходит вдвое больше, чем на отдых: 2 · 316 = 616. Вместе со школами и отдыхом расходы составляют 516 + 316 + 616 = 1416.
На стадион остаётся 216 = 18 всей суммы: 5,7 : 8 = 0,7125 млн р., или 712 500 р. Отдых получает 316 от 5,7 млн р., то есть 1,06875 млн р. = 1 068 750 р. Для перевода миллионов в рубли умножаем на миллион.
Бандероли отправляются массой от 100 г до 2 кг. Какую наименьшую сумму потребуется оплатить за отправку в лагерь наборов карандашей и наборов красок для рисования 17 детям? Масса набора красок для рисования равна 25 кг, а масса набора карандашей — 140 кг. Тарифы на отправку бандероли приведены в таблице справа.
| Вид бандероли и масса | Цена, р |
| Простая, 100 г | 48 |
| Заказная, 100 г | 84 |
| Каждые последующие полные/неполные 20 г любой бандероли | 3,6 |
1) 25 + 140 = 1640 + 140 = 1740 (кг) – краски и карандаши для одного ребёнка.
2) 1740 · 17 = 28940 = 7940 (кг) = 7225 г – общая масса.
3) В три бандероли положим по 5 наборов красок: 5 · 400 = 2000 г в каждой. В четвёртую – 2 набора красок и 17 наборов карандашей: 2 · 400 + 17 · 25 = 1225 г. Все бандероли весят не более 2 кг; все наборы целые.
4) Для бандероли массой 2000 г после первых 100 г остаётся 1900 г: 1900 : 20 = 95 доплат по 3,6 р.
95 · 3,6 = 342 (р.).
48 + 342 = 390 (р.) – одна большая бандероль; 390 · 3 = 1170 (р.) – три.
5) В бандероли 1225 г после первых 100 г остаётся 1125 г. Это 56 полных частей по 20 г и ещё 5 г, то есть 57 доплат.
57 · 3,6 = 205,2 (р.).
48 + 205,2 = 253,2 (р.) – четвёртая бандероль.
6) 1170 + 253,2 = 1423,2 (р.) – общая стоимость.
Ответ: 1423,20 р.
Пояснения
Простая бандероль дешевле заказной. Первые 100 г каждой простой бандероли стоят 48 р., затем за каждые полные или неполные 20 г платят 3,6 р. Общая масса больше 6 кг, поэтому нужны как минимум четыре бандероли.
Проверим наименьшую стоимость. В четырёх бандеролях первые 100 г покрывают 400 г. На остальные 7225 − 400 = 6825 г требуется не менее 342 доплат.
В 6825 г содержится 341 полная часть по 20 г и ещё 5 г, значит, нужно 342 доплаты. Наше распределение даёт ровно 95 + 95 + 95 + 57 = 342 доплаты, то есть достигает нижней границы.
Каждая дополнительная бандероль добавляет 48 р. за первые 100 г и может убрать лишь пять доплат по 3,6 р., то есть 18 р. Поэтому пять и более бандеролей дешевле не обойдутся. Упаковочную массу отдельно не учитываем: в условии она не дана.
Чтобы рассчитать расстояние до телевизора, нужно умножить диагональ телевизора на коэффициент 1,6. Измерьте диагональ вашего телевизора и найдите оптимальное расстояние для просмотра телепередач.
Измерьте диагональ своего телевизора и умножьте её на 1,6.
Например, при диагонали 127 см: 127 · 1,6 = 203,2 (см).
Ответ для этого примера: 203,2 см.
Задача Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание: "Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д." Определите число сыновей и размер завещанных сбережений.
Пусть каждый сын получил x р., а всего было S р.
Первый сын: 1000 + S − 10008 = x, откуда S + 7000 = 8x.
После выдачи первому сыну осталось S − x р. Второй сын получил:
2000 + S − x − 20008 = x, откуда S − x + 14 000 = 8x.
Приравниваем левые части:
S + 7000 = S − x + 14 000;
x = 14 000 − 7000 = 7000 (р.) – доля одного сына.
S = 8 · 7000 − 7000 = 49 000 (р.) – все сбережения.
49 000 : 7000 = 7 – число сыновей.
Проверка: перед выдачей седьмому сыну остаётся 7000 р. Он получает 7000 р. и восьмую часть нулевого остатка.
Ответ: 7 сыновей; 49 000 р.
Надпись на гробнице замечательного древнего математика Диофанта составлена в виде математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына. Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравнению с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?
Пусть Диофант прожил x лет. По условию:
16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4 = x;
(1484 + 784 + 1284 + 4284)x + 9 = x;
7584x + 9 = x;
x − 7584x = 9;
(1 − 7584)x = 9;
984x = 9;
x = 9 : 984 = 9 · 849 = 84.
Ответ: 84 года.
Пояснения
Каждый этап жизни выражен долей полного возраста x. Детство 16x, следующий этап 112x, бездетный брак 17x и жизнь сына 12x вместе составляют 7584x. Отдельные 5 и 4 года дают ещё 9 лет.
Значит, оставшиеся 984 всей жизни равны 9 годам. Одна восемьдесят четвёртая – 1 год, полный возраст 84 года. Проверка этапов: 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84.
Известному писателю Л. Н. Толстому очень нравилась следующая задача.
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая артель осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?
Пусть в артели x косцов, а один косец за день скашивает y единиц площади.
1) За первую половину дня вся артель скосила 12xy большого луга.
2) За вторую половину дня половина артели скосила на большом лугу 14xy.
3) Площадь большого луга: 12xy + 14xy = 34xy.
4) На малом лугу за вторую половину дня скосили 14xy. Оставшийся участок за день скосил один косец, значит, площадь малого луга 14xy + y.
5) Большой луг вдвое больше малого:
2(14xy + y) = 34xy.
Делим обе части на 2y:
14x + 1 = 38x;
38x − 14x = 1;
(38 − 28)x = 1;
18x = 1;
x = 8.
Ответ: 8 косцов.
Задача Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 рублёв и кафтан. Но тот, работав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, а коликие цены оный кафтан был.
1) 12 − 7 = 5 (месяцев) – работник не доработал.
2) 12 − 5 = 7 (р.) – денежная часть неполученной платы. Кафтан выдан полностью.
3) 7 : 5 = 1,4 (р.) – стоимость месяца работы.
4) 1,4 · 7 = 9,8 (р.) – стоимость семи месяцев.
5) 9,8 − 5 = 4,8 (р.) – цена кафтана.
Ответ: 4,8 р.
К табунщику пришли три казака покупать лошадей. "Хорошо, я вам продам лошадей, – сказал табунщик, – первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей". Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько лошадей продал табунщик каждому из казаков?
Рассуждаем с конца.
1) После третьей продажи осталось 5 лошадей. Перед ней было (5 + 12) · 2 = 512 · 2 = 11 лошадей. Третий казак купил 11 − 5 = 6 лошадей.
2) Перед второй продажей было (11 + 12) · 2 = 1112 · 2 = 23 лошади. Второй казак купил 23 − 11 = 12 лошадей.
3) Первоначально было (23 + 12) · 2 = 2312 · 2 = 47 лошадей. Первый казак купил 47 − 23 = 24 лошади.
Ответ: первому – 24, второму – 12, третьему – 6 лошадей.
Пояснения
Действуем от последнего остатка к началу. После каждой покупки остаётся половина прежнего табуна минус пол-лошади. Поэтому для восстановления прибавляем к остатку 12 и умножаем на 2.
Из конечных 5 восстанавливаем 11 лошадей перед третьей продажей, затем 23 перед второй и 47 перед первой. Покупки – разности соседних количеств: 47 − 23 = 24, 23 − 11 = 12, 11 − 5 = 6. Например, половина 47 и ещё половина лошади вместе дают целые 24; делить животное на части не приходится.
Длина маршрутной тропы на гору Малое седло в Кисловодске равна 5,4 км. Подняться на гору можно разными способами:
1) пройти по тропе пешком;
2) подняться в вагончике канатной дороги, который едет 116 ч и отправляется каждые четверть часа. Затем пройти оставшиеся 2 км.
Рассчитайте время различных вариантов похода, если обычно средняя скорость восхождения на гору составляет 1,5 км/ч, а спуска – в два с половиной раза больше. При этом не забудьте заложить время на то, чтобы поесть, полюбоваться чудесными видами природы и отдохнуть.
1) 1,5 · 2,5 = 3,75 (км/ч) – скорость спуска.
Пешком в обе стороны.
2) 5,4 : 1,5 = 3,6 (ч) – подъём.
5,4 : 3,75 = 1,44 (ч) – спуск.
3,6 + 1,44 = 5,04 (ч) – движение. К этому времени нужно добавить время отдыха, еды и остановок для осмотра.
С канатной дорогой в обе стороны.
3) 116 · 2 + 2 : 1,5 + 2 : 3,75 = 18 + 43 + 815 = 15120 + 160120 + 64120 = 239120 = 1119120 (ч).
Это 1 ч 59 мин 30 с движения.
4) Ожидание одного вагончика – не более 14 ч. Для двух поездок добавляем не более 14 · 2 = 12 ч.
5) 1119120 + 12 = 259120 (ч) = 2 ч 29 мин 30 с – с наибольшим заложенным ожиданием, но без отдыха.
Ответ: пешком – 5,04 ч плюс отдых; с канатной дорогой – от 1 ч 59 мин 30 с до 2 ч 29 мин 30 с плюс отдых. При одинаковом времени остановок вариант с вагончиком быстрее.
Пояснения
Пеший подъём занимает 5,4 : 1,5 = 3,6 ч, спуск при скорости 3,75 км/ч – 1,44 ч. Всего 5,04 ч, то есть 5 ч 2 мин 24 с движения.
При поездке на канатной дороге в обе стороны дважды учитываем 116 ч в вагончике, затем пешие 2 км вверх и 2 км вниз. Сумма 18 + 43 + 815 = 239120 ч, или 1 ч 59 мин 30 с.
Вагончики отправляются раз в 15 мин, поэтому к двум поездкам закладываем до 30 мин ожидания. Получаем до 2 ч 29 мин 30 с без отдыха. К обоим вариантам добавляем выбранное одинаковое время еды и остановок: это позволяет честно сравнить варианты без выдуманного расписания отдыха.