Решение упражнения номер 718 – Математика 5 класс Никольский С.М. ответы

Задание 718

718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Математика 5 класс Никольский: 718 Покажем, что разность задуманного числа и числа с переставленными цифрами делится на 9. Пусть abc = bac = а ×100+b×10 + с — задуманное число, можем получить из него числа bac, cab, cba, acb. abc - bac = (a × 100 + b × 10 + c) - (b × 100 + а × 10 + c) = а×100 + b × 10 + с - b × 100 – а×10 - с = а×90 - b ×90 = (а- b)×90 = (а- b)×9×10 —делится на 9; abc - cab = (a×100 + b×10 + c) - (c×100 + а×10 + b) = a×l00 + b×10 + c – c×l00 – a×l0 - b = a×90 + b × 9- c×99 = 9 (а×10 + b – с×11) —делится на 9; abc - cba =(a × 100 + b × 10 + c) - (c × 100 + b × 10 + a) = a×l00 + b×10 + c – c×l00- b×10 - a = a×99 – c×99 = (a - c) × 11× 9 — делится на 9 abc - acb = (a × 100 + b × 10 + c) - (a × 100 +10 × c + b) = a×100 + b×10 + c – a×100 -10 ×b = b ×9 – c×9 = (b - c) × 9 — делится на 9. Следовательно, в каком бы порядке мы не переставили цифры, разность наших чисел будет делиться на 9. А если мы будем знать сумму всех цифр кроме одной, то сможем определить ее, т.к. знаем, что число делится на 9, когда сумма всех цифр делится на 9.