Решение упражнения номер 671 – Математика 5 класс Никольский С.М. ответы

Задание 671

671. Докажите, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Математика 5 класс Никольский: 671 Предположим, что существуют два соседних натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1. Существуют два натуральных числа а и (а + 1) и натуральное число k >1, которое является делителем чисел а и (а + 1). Тогда числа а и (а + 1) можно представить в виде: а = k × l, (а + 1) = k × m, где l и m —натуральные числа, причем l и m отличаются не менее, чем на единицу. С одной стороны, (а + 1) - а = k × m - k × l = k × (m- l), с другой стороны, (а + 1) - а = 1, т.е. k × (m- l)= 1, но k > 2 , а (m -l) > 1,значит, k×(m - l) 2. Противоречие с тем, что k×(m - l) = 1. Следовательно, не существует двух соседних натуральных чисел, у которых НОД больше 1.