Объясни, как выполнено деление, пользуясь планом из упражнения 387.
1 850 : 5; 5 648 : 8.
1 850 : 5 = 370;
5 648 : 8 = 706.
Пояснения
Шаг 1. В обоих примерах первая цифра делимого меньше делителя, поэтому начинаем с двух первых цифр и получаем трёхзначное частное.
Ноль в частном обязательно сохраняем: он показывает отсутствие единиц или десятков соответствующего разряда.
Записываем действие полностью: 1 850 : 5 = 370.
1 850 : 5 = 370.
Смотрим на старшие цифры числа 1 850. Первая часть числа, достаточная для деления на 5, относится к разряду «сотни» и равна 18.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 370 будет 3 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 18. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 3: произведение 3 · 5 = 15 не превосходит 18, а 4 · 5 = 20 уже больше 18. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 3 ставим в частном строго в разряде «сотни». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 18 - 15 = 3. Проверяем обязательное условие остатка: 3 < 5. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 3 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 35; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 35. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 7: произведение 7 · 5 = 35 не превосходит 35, а 8 · 5 = 40 уже больше 35. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 7 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 35 - 35 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 5. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 0; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 0. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 5 = 0 не превосходит 0, а 1 · 5 = 5 уже больше 0. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 0 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 0 - 0 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 5. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Все цифры делимого использованы. Последний остаток равен 0, поэтому действие выполнено нацело и дополнительную цифру в частном дописывать не требуется.
Читаем частное по записанным цифрам: 370.
Выполняем обратную проверку: 370 · 5 = 1 850. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Дополнительно оцениваем порядок результата: частное меньше делимого и при умножении примерно на делитель возвращается к величине исходного числа.
Каждое промежуточное число в записи возникло только после сноса очередной цифры. Пропуск такого числа нарушил бы разрядность и привёл бы к неверной записи частного.
Шаг 2.
Записываем действие полностью: 5 648 : 8 = 706.
5 648 : 8 = 706.
Смотрим на старшие цифры числа 5 648. Первая часть числа, достаточная для деления на 8, относится к разряду «сотни» и равна 56.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 706 будет 3 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 56. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 7: произведение 7 · 8 = 56 не превосходит 56, а 8 · 8 = 64 уже больше 56. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 7 ставим в частном строго в разряде «сотни». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 56 - 56 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 8. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 4; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 4. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 8 = 0 не превосходит 4, а 1 · 8 = 8 уже больше 4. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 0 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 4 - 0 = 4. Проверяем обязательное условие остатка: 4 < 8. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 4 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 48; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 48. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 6: произведение 6 · 8 = 48 не превосходит 48, а 7 · 8 = 56 уже больше 48. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 6 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 48 - 48 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 8. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Читаем частное по записанным цифрам: 706.
Выполняем обратную проверку: 706 · 8 = 5 648. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Сравниваем результаты: 370 · 5 = 1 850 и 706 · 8 = 5 648, поэтому оба частных найдены правильно.
Ответы располагаем в порядке примеров: 370 и 706.
Выполни деление с объяснением.
1 520 : 4; 915 : 3; 9 700 : 2; 1 806 : 6.
1 520 : 4 = 380;
915 : 3 = 305;
9 700 : 2 = 4 850;
1 806 : 6 = 301.
Пояснения
Шаг 1. Сначала для каждого делимого определяем старший разряд частного, затем последовательно работаем со всеми цифрами, включая нули.
Если неполное делимое меньше делителя после начала записи частного, в соответствующем разряде частного ставим 0 и сносим следующую цифру.
Записываем действие полностью: 1 520 : 4 = 380.
1 520 : 4 = 380.
Смотрим на старшие цифры числа 1 520. Первая часть числа, достаточная для деления на 4, относится к разряду «сотни» и равна 15.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 380 будет 3 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 15. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 3: произведение 3 · 4 = 12 не превосходит 15, а 4 · 4 = 16 уже больше 15. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 3 ставим в частном строго в разряде «сотни». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 15 - 12 = 3. Проверяем обязательное условие остатка: 3 < 4. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 3 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 32; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 32. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 8: произведение 8 · 4 = 32 не превосходит 32, а 9 · 4 = 36 уже больше 32. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 8 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 32 - 32 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 4. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 0; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 0. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 4 = 0 не превосходит 0, а 1 · 4 = 4 уже больше 0. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 0 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 0 - 0 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 4. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Все цифры делимого использованы. Последний остаток равен 0, поэтому действие выполнено нацело и дополнительную цифру в частном дописывать не требуется.
Читаем частное по записанным цифрам: 380.
Выполняем обратную проверку: 380 · 4 = 1 520. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Дополнительно оцениваем порядок результата: частное меньше делимого и при умножении примерно на делитель возвращается к величине исходного числа.
Каждое промежуточное число в записи возникло только после сноса очередной цифры. Пропуск такого числа нарушил бы разрядность и привёл бы к неверной записи частного.
Шаг 2.
Записываем действие полностью: 915 : 3 = 305.
915 : 3 = 305.
Смотрим на старшие цифры числа 915. Первая часть числа, достаточная для деления на 3, относится к разряду «сотни» и равна 9.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 305 будет 3 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 9. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 3: произведение 3 · 3 = 9 не превосходит 9, а 4 · 3 = 12 уже больше 9. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Вычитаем найденное произведение: 9 - 9 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 1; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 1. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 3 = 0 не превосходит 1, а 1 · 3 = 3 уже больше 1. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 0 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 1 - 0 = 1. Проверяем обязательное условие остатка: 1 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 1 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 15; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 15. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 5: произведение 5 · 3 = 15 не превосходит 15, а 6 · 3 = 18 уже больше 15. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 5 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 15 - 15 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Читаем частное по записанным цифрам: 305.
Выполняем обратную проверку: 305 · 3 = 915. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Шаг 3.
Записываем действие полностью: 9 700 : 2 = 4 850.
9 700 : 2 = 4 850.
Смотрим на старшие цифры числа 9 700. Первая часть числа, достаточная для деления на 2, относится к разряду «тысячи» и равна 9.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 4 850 будет 4 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «тысячи». Получено неполное делимое 9. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 4: произведение 4 · 2 = 8 не превосходит 9, а 5 · 2 = 10 уже больше 9. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 4 ставим в частном строго в разряде «тысячи». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 9 - 8 = 1. Проверяем обязательное условие остатка: 1 < 2. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 1 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 17; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 17. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 8: произведение 8 · 2 = 16 не превосходит 17, а 9 · 2 = 18 уже больше 17. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 8 ставим в частном строго в разряде «сотни». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 17 - 16 = 1. Проверяем обязательное условие остатка: 1 < 2. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 1 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 10; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 10. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 5: произведение 5 · 2 = 10 не превосходит 10, а 6 · 2 = 12 уже больше 10. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 5 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 10 - 10 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 2. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 2 = 0 не превосходит 0, а 1 · 2 = 2 уже больше 0. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Вычитаем найденное произведение: 0 - 0 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 2. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Читаем частное по записанным цифрам: 4 850.
Выполняем обратную проверку: 4 850 · 2 = 9 700. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Шаг 4.
Записываем действие полностью: 1 806 : 6 = 301.
1 806 : 6 = 301.
Смотрим на старшие цифры числа 1 806. Первая часть числа, достаточная для деления на 6, относится к разряду «сотни» и равна 18.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 301 будет 3 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 18. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 3: произведение 3 · 6 = 18 не превосходит 18, а 4 · 6 = 24 уже больше 18. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Вычитаем найденное произведение: 18 - 18 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 6. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 0. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 6 = 0 не превосходит 0, а 1 · 6 = 6 уже больше 0. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Вычитаем найденное произведение: 0 - 0 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 6. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 6; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 6. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 1: произведение 1 · 6 = 6 не превосходит 6, а 2 · 6 = 12 уже больше 6. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 1 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 6 - 6 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 6. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Читаем частное по записанным цифрам: 301.
Выполняем обратную проверку: 301 · 6 = 1 806. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Шаг 5.
Проверки восстанавливают делимые: 380 · 4 = 1 520; 305 · 3 = 915; 4 850 · 2 = 9 700; 301 · 6 = 1 806.
Особенно проверяем нули внутри и в конце частных: без них числа 38, 35, 485 и 31 имели бы другую разрядность и не прошли бы проверку.
Ответы по порядку: 380, 305, 4 850, 301.
При делении 32 056 на 8 первый ученик получил 407, второй - 4 007, третий - 47. Объясни, кто прав и почему.
Прав второй ученик: 32 056 : 8 = 4 007.
Пояснения
Шаг 1. Первая часть числа, которая делится на 8, равна 32 тысячам. Значит, первая цифра частного относится к разряду тысяч.
Если частное начинается с тысяч, в его записи должны быть четыре разряда: тысячи, сотни, десятки и единицы.
После 32 : 8 = 4 остаток равен 0. Сносим цифру сотен 0 и получаем 0 : 8 = 0, поэтому в частном ставим 0 сотен.
Сносим цифру десятков 5. Число 5 меньше 8, значит, в частном ставим 0 десятков; цифру 5 нельзя пропускать.
Сносим 6 единиц и получаем 56. Делим 56 : 8 = 7.
32 056 : 8 = 4 007.
Читаем частное с двумя нулями внутри: 4 007.
Проверка: 4 007 · 8 = 32 056. Результат второго ученика верен.
Число 407 слишком мало: 407 · 8 = 3 256. В нём потерян один нулевой разряд.
Число 47 ещё меньше: 47 · 8 = 376. В нём пропущены оба нуля и нарушена величина результата.
Следовательно, прав второй ученик, потому что только его четырёхзначное частное сохраняет все разряды и проходит проверку.
Частное 4 007 содержит нули в разрядах сотен и десятков: 4 007 · 8 = 32 056. Убирать эти нули нельзя, иначе число уменьшится.
Бабушка купила 200 г белой и 600 г синей шерсти, всего 8 одинаковых по массе мотков. Найди массу одного мотка. Сколько куплено белых и сколько синих мотков?
1) 200 + 600 = 800 (г) - вся шерсть.
2) 800 : 8 = 100 (г) - масса одного мотка.
3) 200 : 100 = 2 (мот.) - белой шерсти.
4) 600 : 100 = 6 (мот.) - синей шерсти.
Ответ: 100 г; 2 белых и 6 синих мотков.
Пояснения
Шаг 1. Все восемь мотков имеют одинаковую массу, поэтому сначала нужно узнать общую массу шерсти двух цветов.
Складываем 200 + 600 = 800 г. Это масса всех белых и синих мотков вместе.
Массу одного мотка находим делением общей массы на количество мотков: 800 : 8 = 100 г.
Проверка: 100 · 8 = 800 г, то есть восемь одинаковых мотков дают всю купленную шерсть.
Шаг 2. Число белых мотков равно массе белой шерсти, делённой на массу одного мотка: 200 : 100 = 2.
Число синих мотков: 600 : 100 = 6.
Шаг 3. Собираем найденные величины в таблице.
| Шерсть | Общая масса | Масса мотка | Число мотков |
|---|---|---|---|
| Белая | 200 г | 100 г | 2 |
| Синяя | 600 г | 100 г | 6 |
| Всего | 800 г | 100 г | 8 |
Проверяем количество мотков: 2 + 6 = 8, что совпадает с условием.
Проверяем массы отдельно: 2 · 100 = 200 г белой шерсти; 6 · 100 = 600 г синей шерсти.
Шаг 4. Отношение 600 : 200 = 3 показывает, что синих мотков в 3 раза больше, чем белых; 6 : 2 = 3.
Можно решить задачу и через доли общей массы: белая шерсть составляет 200 : 800 = 1/4 всей массы, поэтому на неё приходится 8 : 4 = 2 мотка.
Синяя шерсть составляет оставшиеся 3/4 общей массы. Три четверти от восьми одинаковых мотков равны 8 : 4 · 3 = 6 моткам.
Шаг 5. Дополнительный способ дал те же числа 2 и 6, поэтому распределение мотков между цветами согласовано и по массе, и по количеству.
Масса одного мотка одинакова для обоих цветов; нельзя отдельно делить 200 и 600 на общее число 8, потому что тогда мотки получились бы разной массы.
Шаг 6. Все единицы массы записываем в граммах, а количество предметов - в мотках.
Итог: один моток весит 100 г, белых мотков 2, синих 6.
Пешеход проходит 4 км в час, это в 3 раза меньше, чем велосипедист проезжает за то же время. На сколько километров в час больше проезжает велосипедист? Сделай схематический чертёж и реши.
1) 4 · 3 = 12 (км) - проезжает велосипедист за час.
2) 12 - 4 = 8 (км) - разница за час.
Ответ: на 8 км в час больше.
Пояснения
Шаг 1. За одинаковое время пешеход проходит 4 км, а велосипедист преодолевает в 3 раза большее расстояние.
На схеме путь пешехода изображаем одним отрезком, соответствующим 4 км.
Путь велосипедиста изображаем тремя такими же частями, потому что он в 3 раза больше.
Находим расстояние велосипедиста за час: 4 · 3 = 12 км.
Шаг 2. Вопрос «на сколько больше» требует найти разность большего и меньшего расстояний.
Вычитаем: 12 - 4 = 8 км. Именно на столько путь велосипедиста за час длиннее.
Схематический чертёж показывает одну часть у пешехода, три части у велосипедиста и разницу 8 км.
Проверка разности: 4 + 8 = 12 км.
Шаг 3. Сравниваем найденные расстояния отношением: 12 : 4 = 3. Велосипедист действительно проходит за час в три раза больше.
Разность 8 км равна двум отрезкам по 4 км на схеме: три части велосипедиста минус одна часть пешехода оставляют две части.
Шаг 4. Единица скорости в условии означает расстояние за один час, поэтому сравниваем результаты для одного и того же промежутка времени.
Решение одним выражением: 4 · 3 - 4 = 8. Сначала выполняем умножение, затем вычитание.
Ответ относится к одному часу, поэтому записываем: на 8 км в час больше.
Сначала определи число цифр в частном, затем выполни деление и проверку.
7 158 : 3; 1 525 : 5; 7 800 : 3; 8 312 : 8.
7 158 : 3 = 2 386;
1 525 : 5 = 305;
7 800 : 3 = 2 600;
8 312 : 8 = 1 039.
Пояснения
Шаг 1. Для 7 158 : 3 первая цифра 7 делится на 3, поэтому частное будет четырёхзначным.
Для 1 525 : 5 первая цифра 1 меньше 5, а первые две цифры образуют 15; частное будет трёхзначным.
Для 7 800 : 3 первая цифра 7 делится на 3, поэтому ожидаем четыре цифры в частном.
Для 8 312 : 8 первая цифра равна делителю, значит, частное также будет четырёхзначным.
Записываем действие полностью: 7 158 : 3 = 2 386.
7 158 : 3 = 2 386.
Смотрим на старшие цифры числа 7 158. Первая часть числа, достаточная для деления на 3, относится к разряду «тысячи» и равна 7.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 2 386 будет 4 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «тысячи». Получено неполное делимое 7. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 2: произведение 2 · 3 = 6 не превосходит 7, а 3 · 3 = 9 уже больше 7. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 2 ставим в частном строго в разряде «тысячи». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 7 - 6 = 1. Проверяем обязательное условие остатка: 1 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 1 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 11; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 11. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 3: произведение 3 · 3 = 9 не превосходит 11, а 4 · 3 = 12 уже больше 11. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 3 ставим в частном строго в разряде «сотни». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 11 - 9 = 2. Проверяем обязательное условие остатка: 2 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 2 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 25; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 25. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 8: произведение 8 · 3 = 24 не превосходит 25, а 9 · 3 = 27 уже больше 25. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 8 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 25 - 24 = 1. Проверяем обязательное условие остатка: 1 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 1 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 18; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 18. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 6: произведение 6 · 3 = 18 не превосходит 18, а 7 · 3 = 21 уже больше 18. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 6 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 18 - 18 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Все цифры делимого использованы. Последний остаток равен 0, поэтому действие выполнено нацело и дополнительную цифру в частном дописывать не требуется.
Читаем частное по записанным цифрам: 2 386.
Выполняем обратную проверку: 2 386 · 3 = 7 158. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Дополнительно оцениваем порядок результата: частное меньше делимого и при умножении примерно на делитель возвращается к величине исходного числа.
Каждое промежуточное число в записи возникло только после сноса очередной цифры. Пропуск такого числа нарушил бы разрядность и привёл бы к неверной записи частного.
Записываем действие полностью: 1 525 : 5 = 305.
1 525 : 5 = 305.
Смотрим на старшие цифры числа 1 525. Первая часть числа, достаточная для деления на 5, относится к разряду «сотни» и равна 15.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 305 будет 3 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 15. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 3: произведение 3 · 5 = 15 не превосходит 15, а 4 · 5 = 20 уже больше 15. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Вычитаем найденное произведение: 15 - 15 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 5. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 2; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 2. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 5 = 0 не превосходит 2, а 1 · 5 = 5 уже больше 2. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 0 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 2 - 0 = 2. Проверяем обязательное условие остатка: 2 < 5. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 25. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 5: произведение 5 · 5 = 25 не превосходит 25, а 6 · 5 = 30 уже больше 25. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 5 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 25 - 25 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 5. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Читаем частное по записанным цифрам: 305.
Выполняем обратную проверку: 305 · 5 = 1 525. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Записываем действие полностью: 7 800 : 3 = 2 600.
7 800 : 3 = 2 600.
Смотрим на старшие цифры числа 7 800. Первая часть числа, достаточная для деления на 3, относится к разряду «тысячи» и равна 7.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 2 600 будет 4 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 18. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Цифру 6 ставим в частном строго в разряде «сотни». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 0; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 0. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 3 = 0 не превосходит 0, а 1 · 3 = 3 уже больше 0. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Вычитаем найденное произведение: 0 - 0 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 3. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 0. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Цифру 0 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Читаем частное по записанным цифрам: 2 600.
Выполняем обратную проверку: 2 600 · 3 = 7 800. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Записываем действие полностью: 8 312 : 8 = 1 039.
8 312 : 8 = 1 039.
Смотрим на старшие цифры числа 8 312. Первая часть числа, достаточная для деления на 8, относится к разряду «тысячи» и равна 8.
По разряду первой делимой части видно, что в частном 1 039 будет 4 цифры. Нельзя начинать запись частного раньше этого разряда: тогда значение результата оказалось бы завышенным.
Разряд «тысячи». Получено неполное делимое 8. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 1: произведение 1 · 8 = 8 не превосходит 8, а 2 · 8 = 16 уже больше 8. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 1 ставим в частном строго в разряде «тысячи». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 8 - 8 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 8. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 0 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 3; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «сотни». Получено неполное делимое 3. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 0: произведение 0 · 8 = 0 не превосходит 3, а 1 · 8 = 8 уже больше 3. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 0 ставим в частном строго в разряде «сотни». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 3 - 0 = 3. Проверяем обязательное условие остатка: 3 < 8. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 3 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 31; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «десятки». Получено неполное делимое 31. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 3: произведение 3 · 8 = 24 не превосходит 31, а 4 · 8 = 32 уже больше 31. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 3 ставим в частном строго в разряде «десятки». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 31 - 24 = 7. Проверяем обязательное условие остатка: 7 < 8. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Остаток 7 пока не является ответом. Приписываем к нему следующую цифру делимого и получаем очередное неполное делимое 72; после этого продолжаем деление в следующем разряде.
Разряд «единицы». Получено неполное делимое 72. Оно образовано из остатка предыдущего этапа и очередной цифры исходного числа; на первом этапе берётся начальная часть делимого.
Подбираем цифру частного 9: произведение 9 · 8 = 72 не превосходит 72, а 10 · 8 = 80 уже больше 72. Поэтому другая цифра на этом месте не подходит.
Цифру 9 ставим в частном строго в разряде «единицы». Такое положение важно: та же цифра в соседнем разряде изменила бы значение частного в 10 раз.
Вычитаем найденное произведение: 72 - 72 = 0. Проверяем обязательное условие остатка: 0 < 8. Неравенство выполнено, значит, цифра частного выбрана правильно.
Читаем частное по записанным цифрам: 1 039.
Выполняем обратную проверку: 1 039 · 8 = 8 312. Получено исходное делимое, следовательно, и частное, и все промежуточные вычитания верны.
Шаг 2.
Проверяем результаты: 2 386 · 3 = 7 158; 305 · 5 = 1 525; 2 600 · 3 = 7 800; 1 039 · 8 = 8 312.
Нули в частных 305, 2 600 и 1 039 занимают определённые разряды и не могут быть удалены.
Ответы по порядку: 2 386, 305, 2 600, 1 039.
Реши уравнения.
1) x : 8 = 800 · 10;
2) x · 8 = 800 · 10;
3) 700 : x = 7 · 100.
1) x = 64 000;
2) x = 1 000;
3) x = 1.
Пояснения
Шаг 1. Во всех трёх уравнениях сначала упрощаем правую часть: 800 · 10 = 8 000, а 7 · 100 = 700.
Первое уравнение принимает вид x : 8 = 8 000. Здесь x - неизвестное делимое.
Неизвестное делимое равно произведению частного и делителя: x = 8 000 · 8 = 64 000.
Проверка первого корня: 64 000 : 8 = 8 000 и 800 · 10 = 8 000. Левая и правая части равны.
Второе уравнение: x · 8 = 8 000. Неизвестен один из множителей.
Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель: x = 8 000 : 8 = 1 000.
Проверка второго корня: 1 000 · 8 = 8 000, что равно 800 · 10.
Третье уравнение после вычисления справа имеет вид 700 : x = 700. Буква x обозначает неизвестный делитель.
Неизвестный делитель находим делением делимого на частное: x = 700 : 700 = 1.
Проверка третьего корня: 700 : 1 = 700 и 7 · 100 = 700.
Все найденные значения обращают свои уравнения в верные числовые равенства.
В первом уравнении после нахождения x выполняется деление, во втором - умножение, а в третьем - деление на найденный делитель. Это три разные роли неизвестного.
Ни один корень не равен нулю. Для третьего уравнения это особенно важно, потому что делить на ноль нельзя.
Проверки выполняем в исходных уравнениях, а не только в упрощённых: так одновременно контролируем и вычисление правой части.
Шаг 2. Ответы записываем по порядку: 64 000, 1 000, 1.
В городе 4 таксомоторных парка, в которых всего 5 600 машин. Строят ещё 3 таких парка. Сколько машин будет работать в новых парках, если во всех парках машин поровну?
1) 5 600 : 4 = 1 400 (маш.) - в одном парке.
2) 1 400 · 3 = 4 200 (маш.) - в новых парках.
Ответ: 4 200 машин.
Пояснения
Шаг 1. Собираем данные о действующих и новых парках в таблице.
| Парки | Количество парков | Машин в одном | Всего машин |
|---|---|---|---|
| Действующие | 4 | 5 600 : 4 = 1 400 | 5 600 |
| Новые | 3 | 1 400 | 1 400 · 3 = 4 200 |
Во всех парках машин поровну, поэтому сначала находим число машин в одном действующем парке.
Делим общее количество на четыре парка: 5 600 : 4 = 1 400 машин.
Проверка: 1 400 · 4 = 5 600 машин, значит, распределение по действующим паркам найдено верно.
Каждый новый парк будет таким же по числу машин, поэтому в одном новом парке тоже будет 1 400 машин.
Новых парков три. Умножаем: 1 400 · 3 = 4 200 машин.
Проверка: 4 200 : 3 = 1 400 машин в каждом новом парке.
Шаг 2. Решение одним выражением: 5 600 : 4 · 3 = 4 200. Деление и умножение выполняем слева направо.
Можно сравнить число машин в новых и действующих парках: 4 200 : 5 600 = 3 : 4, как и отношение количества парков 3 : 4.
Если бы спросили число машин во всех семи парках, потребовалось бы сложить 5 600 + 4 200 = 9 800. Но это другая величина и в текущий ответ её не включаем.
Каждый из семи парков при таком распределении содержит 1 400 машин; 1 400 · 7 = 9 800 подтверждает общую проверочную сумму.
Вопрос касается только новых парков, поэтому машины четырёх действующих парков к ответу не прибавляем.
Итог: в трёх новых парках будет работать 4 200 машин.
Найди площадь фигуры. Сторона каждой клетки равна 1 см.
3 · 4 - 1 · 1 · 2 = 12 - 2 = 10 (см²).
Ответ: 10 см².
Пояснения
Шаг 1. Фигура составная, поэтому дополняем её до прямоугольника, площадь которого легко вычислить.
Внешний прямоугольник имеет ширину 3 клетки и высоту 4 клетки. При стороне клетки 1 см его размеры равны 3 см и 4 см.
Находим площадь всего прямоугольника: 3 · 4 = 12 см².
В состав исходной фигуры не входят два одинаковых квадратных участка: верхний вырез и нижний правый вырез.
Каждый вырез занимает одну клетку размером 1 см на 1 см. Его площадь равна 1 · 1 = 1 см².
Площадь двух вырезов: 1 · 2 = 2 см².
Вычитаем отсутствующие части из площади прямоугольника: 12 - 2 = 10 см².
На чертеже достроенный прямоугольник выделен контуром, а две недостающие клетки показаны отдельно.
Другой способ проверки - пересчитать закрашенные единичные клетки: их 10, значит, площадь равна 10 см².
Тот же результат можно получить сложением прямоугольников внутри фигуры: нижняя основная часть и верхние выступы вместе покрывают ровно десять единичных квадратов.
При достраивании нельзя вычитать весь свободный участок вокруг фигуры: учитываются только две клетки, которые входят во внешний прямоугольник, но не входят в розовую фигуру.
Границы вырезов проходят по линиям сетки, поэтому каждый вырез действительно является квадратом со стороной 1 см, а не частью клетки.
Проверочная оценка также подходит: фигура почти заполняет прямоугольник площадью 12 см², поэтому результат 10 см² выглядит разумно.
Площадь записываем в квадратных сантиметрах, потому что длина стороны клетки дана в сантиметрах.
Итоговая площадь фигуры - 10 см².