ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 81

Шаг 1. Делимое удобно заменить суммой таких разрядных слагаемых, каждое из которых делится на делитель без остатка.

Число 936 раскладываем на 900 + 30 + 6. Все три слагаемых делятся на 3.

Делим сотни: 900 : 3 = 300.

Делим десятки: 30 : 3 = 10.

Делим единицы: 6 : 3 = 2.

Складываем полученные части: 300 + 10 + 2 = 312.

Проверяем первое частное умножением: 312 · 3 = 936.

Число 455 представляем суммой 450 + 5, потому что оба слагаемых делятся на 5.

Вычисляем 450 : 5 = 90 и 5 : 5 = 1.

Складываем частные: 90 + 1 = 91.

Проверка второго результата: 91 · 5 = 455.

В обоих примерах использовано правило деления суммы на число: каждое подходящее слагаемое делим отдельно, затем складываем результаты.

Шаг 1. Находим целое частное и остаток для каждого примера отдельно. Остаток должен быть меньше делителя. Затем проверяем равенство: делитель · частное + остаток = делимое.

Письменная запись.

Для каждого остатка выполнено условие r < b, где r - остаток, b - делитель. Проверка имеет общий вид: делитель · частное + остаток = делимое.

Шаг 1. Каждая буквенная запись выражает правило, которое подходит для всех допустимых значений буквы.

В равенстве 0 : a = 0 буква a обозначает любой делитель, кроме нуля.

Ноль нельзя делить на ноль, поэтому условие о ненулевом делителе важно.

Если ноль разделить на 145, получим 0, потому что 0 · 145 = 0.

По тому же правилу 0 : 964 = 0, так как 0 · 964 = 0.

Запись b : 1 = b показывает: деление на единицу не изменяет число.

Подставляем b = 208 и получаем 208 : 1 = 208.

Проверка выполняется умножением: 208 · 1 = 208.

Подставляем b = 342 и получаем 342 : 1 = 342.

Проверяем: 342 · 1 = 342.

Шаг 2. В записи c : c = 1 делимое и делитель одинаковы, а число c не равно нулю.

Число 375 содержит одну полную группу по 375, поэтому 375 : 375 = 1.

Проверка: 1 · 375 = 375.

Число 863 также содержит одну полную группу по 863, значит, 863 : 863 = 1.

Проверка: 1 · 863 = 863.

Первые два примера используют правило деления нуля на число.

Шаг 3. Следующие два примера используют правило деления числа на единицу.

Последние два примера используют правило деления ненулевого числа на само себя.

Во всех случаях результат подтверждается обратным действием умножением.

Итоговые значения по порядку: 0, 0, 208, 342, 1, 1.

Шаг 1. Одно выражение можно использовать в задачах с разным смыслом деления.

В первой задаче известны общее количество карандашей и число одинаковых коробок.

Условие первой задачи удобно расположить в таблице.

Слово «поровну» означает, что в каждой из шести коробок будет одинаковое количество.

Чтобы найти количество предметов в одной коробке, общее количество делим на число коробок.

Записываем действие: 24 : 6 = 4 карандаша.

Проверяем умножением: 4 · 6 = 24 карандаша.

Значит, в каждую коробку действительно положили по 4 карандаша.

Шаг 2. Здесь деление показывает равное распределение целого между шестью группами.

Во второй задаче число 24 обозначает продолжительность целых суток.

Продолжительность похода равна 6 часам.

Нужно узнать, сколько отрезков по 6 часов помещается в 24 часах.

Вычисляем 24 : 6 = 4, то есть сутки разделяются на четыре равные части по 6 часов.

Один отрезок по 6 часов является одной из четырёх равных частей суток.

Такую долю называют одной четвёртой.

Шаг 3. Схема показывает целые сутки и выделенную часть продолжительностью 6 часов.

Проверяем общую продолжительность: 6 · 4 = 24 часа.

В обеих задачах используется одно действие 24 : 6, но ответ имеет разные единицы и смысл.

В первой задаче результат 4 означает количество карандашей в коробке.

Во второй задаче результат 4 означает число равных шестичасовых частей в сутках.

Числовое значение выражения не меняется, потому что в обоих условиях делят 24 на 6.

Ответ первой задачи записываем в карандашах, а второй - названием доли суток.

Шаг 4. Обе составленные задачи полностью соответствуют данному выражению.

Для первой задачи можно сделать обратную проверку ещё одним способом: 24 : 4 = 6 коробок.

Число 4 в этой проверке обозначает количество карандашей в одной коробке, поэтому деление возвращает число коробок.

Для второй задачи одна четверть суток равна 24 : 4 = 6 часам.

Эта обратная проверка возвращает продолжительность похода из составленного условия.

Нельзя сказать, что поход занял четыре часа: число 4 здесь показывает количество одинаковых частей, а не продолжительность одной части.

Разные вопросы помогают увидеть два смысла одного частного: результат равного распределения и число равных частей в целом.

Шаг 1. Расход не меняется, поэтому за каждый час машина использует одинаковое количество бензина.

Связь времени и количества бензина показана в таблице.

Сначала находим расход за один час.

За 2 часа израсходовано 12 л, значит, 12 л нужно разделить на 2 равные части.

Вычисляем 12 : 2 = 6 л за час.

Проверка нормы: 6 · 2 = 12 л, что совпадает с условием.

Теперь известно, что каждый час запас уменьшается на 6 л.

Чтобы узнать возможное время поездки, весь запас 48 л делим на расход за один час.

Вычисляем 48 : 6 = 8 часов.

Проверяем: за 8 часов при расходе 6 л в час будет использовано 6 · 8 = 48 л.

Шаг 2. Запас израсходуется полностью, поэтому 48 л хватит ровно на 8 часов.

Первый вопрос можно решить выражением 48 : (12 : 2) = 8.

В скобках находится часовой расход 12 : 2 = 6 л.

Шаг 3. Для второго вопроса время уже известно и равно 8 часам.

Количество бензина на всю поездку равно часовому расходу, умноженному на время.

Вычисляем 6 · 8 = 48 л.

Второй вопрос можно решить выражением (12 : 2) · 8 = 48.

Шаг 4. Результаты двух вопросов связаны: найденное в первом вопросе время как раз равно 8 часам.

Поэтому в обоих ответах встречается число 48, но один раз это исходный запас, а другой раз необходимое количество бензина.

Единицы измерения различаем: 6 л за час, 8 часов времени и 48 л всего.

Ответы соответствуют неизменному расходу топлива.

Шаг 1. К данному условию можно поставить вопрос для решения одним действием или вопрос для решения двумя действиями.

Сначала выбираем вопрос: сколько машин завод изготовил в этом году.

В условии сказано, что прошлогодний выпуск на 300 машин меньше нынешнего.

Значит, в этом году изготовили на 300 машин больше, чем 1 400.

Находим нынешний выпуск сложением: 1 400 + 300 = 1 700 машин.

Проверяем разницу: 1 700 - 1 400 = 300 машин.

Проверка совпала с указанным сравнением двух лет.

Шаг 2. Краткая запись для первого вопроса: прошлый год - 1 400 машин, этот год - ?, на 300 машин больше.

Ответ на первый вопрос равен 1 700 машин.

Теперь ставим второй вопрос: сколько машин изготовили за оба года.

Шаг 3. Для ответа сначала снова требуется узнать выпуск этого года.

Первое действие остаётся тем же: 1 400 + 300 = 1 700 машин.

После этого складываем результаты двух лет.

Вычисляем 1 400 + 1 700 = 3 100 машин.

Проверяем сумму: 3 100 - 1 700 = 1 400 машин прошлого года.

Шаг 4. Также 3 100 - 1 400 = 1 700 машин этого года.

Обе проверки возвращают числа из условия и первого действия.

Решение второго вопроса одним выражением: 1 400 + (1 400 + 300) = 3 100.

Скобки показывают количество машин, изготовленных в этом году.

Шаг 5. Нельзя вычитать 300 из 1 400: число 1 400 уже является меньшим значением.

Если бы в условии было сказано, что в этом году сделали на 300 меньше, тогда понадобилось бы вычитание.

Первый ответ относится только к нынешнему году, второй - к общему выпуску за два года.

Оба поставленных вопроса подходят к одному и тому же условию.

Шаг 1. Первая бригада покрыла асфальтом 5 км 060 м.

Вторая бригада прошла на 2 км 280 м больше первой.

Слова «на 2 км 280 м больше» указывают на сложение.

Находим работу второй бригады: 5 км 060 м + 2 км 280 м = 7 км 340 м.

Метры складываются без перехода через 1 000: 60 + 280 = 340 м.

Километры складываем отдельно: 5 + 2 = 7 км.

Проверяем разницу: 7 км 340 м - 5 км 060 м = 2 км 280 м.

Теперь складываем участки, которые покрыли обе бригады.

Получаем 5 км 060 м + 7 км 340 м = 12 км 400 м.

Проверка: 12 км 400 м - 7 км 340 м = 5 км 060 м.

После работы бригад осталось покрыть ещё 965 м.

Всё шоссе состоит из готового участка длиной 12 км 400 м и оставшегося участка 965 м.

Записываем 965 м как 0 км 965 м и складываем одноимённые единицы.

Сумма метров равна 400 + 965 = 1 365 м, то есть 1 км 365 м.

Шаг 2. Добавляем полученный километр к 12 км и получаем 13 км 365 м.

Проверяем целое: 13 км 365 м - 965 м = 12 км 400 м.

Решение одним выражением: 5 км 060 м + (5 км 060 м + 2 км 280 м) + 965 м.

В скобках вычисляется длина участка второй бригады.

Первые два слагаемых дают уже заасфальтированную часть, последнее слагаемое возвращает оставшуюся часть.

Искомая длина всего шоссе равна 13 км 365 м.

Шаг 1. В каждом выражении сначала выполняем действия в скобках, затем умножение или деление, после этого сложение или вычитание.

Первое выражение начинаем с деления в скобках: 536 : 8 = 67.

536 : 8 = 67.

Проверяем частное: 67 · 8 = 536.

Затем умножаем 4 · 67 = 268.

Последнее действие первого выражения: 9 235 + 268 = 9 503.

9 235 + 268 = 9 503.

Итак, значение первого выражения равно 9 503.

Во втором выражении первым выполняем вычитание в скобках: 2 010 - 1 065 = 945.

В письменной записи заимствования отмечены над нужными разрядами.

2 010 - 1 065 = 945.

После скобок делим 945 на 7 и получаем 135.

945 : 7 = 135.

Проверяем деление: 135 · 7 = 945.

Последнее действие второго выражения: 135 · 6 = 810.

Умножение выполняем с переносом в разряд сотен.

135 · 6 = 810.

Значение второго выражения равно 810.

В третьем выражении сначала выполняем умножение: 40 077 · 7 = 280 539.

Все цифры множимого и произведения выровнены по разрядам.

40 077 · 7 = 280 539.

Полученное произведение уменьшаем на 199 099.

Полное действие: 280 539 - 199 099 = 81 440.

При вычитании отмечаем заимствования над соответствующими цифрами уменьшаемого.

280 539 - 199 099 = 81 440.

Проверяем разность: 81 440 + 199 099 = 280 539.

Значение третьего выражения равно 81 440.

В четвёртом выражении умножение предшествует сложению.

Выполняем полное действие 9 020 · 6 = 54 120.

Шаг 2. Ноль в разряде десятков множимого учитываем и сохраняем правильное разрядное выравнивание.

9 020 · 6 = 54 120.

Теперь прибавляем второе слагаемое: 54 120 + 53 901 = 108 021.

Сложение двух пятизначных чисел даёт шестизначный результат.

54 120 + 53 901 = 108 021.

Проверяем сумму: 108 021 - 53 901 = 54 120.

Значение четвёртого выражения равно 108 021.

Итоговые значения по порядку: 9 503; 810; 81 440; 108 021.

Порядок действий в четырёх выражениях соблюдён: сначала скобки, затем умножение или деление, после этого сложение или вычитание. Поэтому ответы записаны как 9 503; 810; 81 440; 108 021.

Шаг 1. В каждом уравнении сначала вычисляем числовое выражение в правой части.

Для первого уравнения находим 1 000 - 910 = 90.

Получаем x : 9 = 90.

Неизвестное x занимает место делимого.

Чтобы найти неизвестное делимое, частное умножаем на делитель.

Вычисляем x = 90 · 9 = 810.

Подставляем 810 в исходное уравнение: 810 : 9 = 1 000 - 910.

Обе части равны 90, поэтому первый корень найден верно.

Во втором уравнении правая часть такая же: 1 000 - 910 = 90.

Получаем x · 9 = 90.

Здесь x является неизвестным множителем.

Неизвестный множитель находим делением произведения на известный множитель.

Вычисляем x = 90 : 9 = 10.

Проверяем в исходной записи: 10 · 9 = 90 и 1 000 - 910 = 90.

Шаг 2. Равенство верно, значит, второй корень равен 10.

В третьем уравнении вычисляем 2 430 - 2 030 = 400.

После упрощения получаем 100 · x = 400.

Буква x снова обозначает неизвестный множитель.

Делим произведение на известный множитель: x = 400 : 100.

Получаем x = 4.

Проверка: 100 · 4 = 400, а 2 430 - 2 030 также равно 400.

Шаг 3. Третий корень подходит.

В четвёртом уравнении правая часть равна 2 430 - 2 420 = 10.

Получаем 100 : x = 10.

В этой записи x является неизвестным делителем.

Чтобы найти неизвестный делитель, делимое делим на частное.

Вычисляем x = 100 : 10 = 10.

Подставляем найденное число: 100 : 10 = 2 430 - 2 420.

Шаг 4. Слева и справа получается 10, поэтому четвёртый корень верен.

Во втором и четвёртом уравнениях получено одинаковое число 10, но правила поиска различаются.

Найденные значения по порядку: 810, 10, 4, 10.

Каждое значение проверено подстановкой именно в исходное уравнение.

При решении важно различать положение неизвестного числа, а не выбирать действие только по знаку в уравнении.

В записи x : 9 = 90 неизвестно делимое, поэтому выполняется умножение 90 · 9.

В записи x · 9 = 90 неизвестен множитель, поэтому выполняется деление 90 : 9.

Шаг 5. В записи 100 · x = 400 неизвестен второй множитель, и снова используется деление.

В записи 100 : x = 10 неизвестен делитель, поэтому 100 делим на значение частного 10.

Эти четыре случая показывают три разных правила связи компонентов действий.

В первой проверке 810 делится на 9 без остатка, что даёт точное частное 90.

Во второй проверке произведение 10 и 9 равно 90.

В третьей проверке четыре сотни равны 400, а в четвёртой десять групп по 10 составляют 100.

Все корни являются натуральными числами и ни в одном уравнении не возникает деления на ноль.

Четыре уравнения полностью:
x : 9 = 1 000 - 910; x : 9 = 90; x = 90 · 9 = 810.
x · 9 = 1 000 - 910; x · 9 = 90; x = 90 : 9 = 10.
100 · x = 2 430 - 2 030; 100 · x = 400; x = 400 : 100 = 4.
100 : x = 2 430 - 2 420; 100 : x = 10; x = 100 : 10 = 10.

Проверки:
810 : 9 = 90;
10 · 9 = 90;
100 · 4 = 400;
100 : 10 = 10.

Правые части исходных уравнений также равны 90, 90, 400 и 10, поэтому все четыре подстановки верны.

Корни записываем по порядку: 810, 10, 4 и 10.

Шаг 1. Второй множитель должен быть однозначным, поэтому рассматриваем числа от 1 до 9.

Сначала смотрим на цифру единиц первого множителя - это 9.

Произведение должно оканчиваться цифрой 1.

Среди произведений 9 на однозначные числа цифрой 1 оканчивается 9 · 9 = 81.

Значит, подходящим вторым множителем может быть только 9.

Выполняем полное действие: 12 345 679 · 9 = 111 111 111.

Умножение записываем по разрядам, а переносы помещаем над принимающими разрядами.

12 345 679 · 9 = 111 111 111.

Умножаем 9 единиц на 9: получаем 81, записываем 1, а 8 переносим к десяткам.

Далее 7 · 9 + 8 = 71, снова записываем 1 и переносим 7.

Для сотен получаем 6 · 9 + 7 = 61.

Для тысяч получаем 5 · 9 + 6 = 51.

Тот же порядок продолжается: каждый раз записывается цифра 1, а десятки переходят в следующий разряд.

После умножения старшего разряда также получается 1, поэтому всё произведение состоит из девяти единиц.

Проверка делением: 111 111 111 : 9 = 12 345 679.

Можно проверить сложением девяти одинаковых слагаемых 12 345 679, но умножение короче.

При умножении на любое другое однозначное число последняя цифра произведения не была бы равна 1.

Следовательно, число 9 не только подходит, но и является единственным возможным ответом.

Полученное число 111 111 111 действительно записано одними единицами.

Шаг 1. Объясняем деление 693 : 3 по неполным делимым.

Первое неполное делимое - 6 сотен, поэтому в частном будет три цифры. 6 сотен : 3 = 2 сотни. Умножаем 2 · 3 = 6 и вычитаем: 6 - 6 = 0 сотен.

Цифру 2 записываем в разряде сотен частного. Затем последовательно переходим к десяткам и единицам: каждую следующую цифру делимого сносим только после окончания предыдущего шага деления. Так разряды частного остаются на своих местах.

Сносим 9 десятков. 9 : 3 = 3 десятка; 3 · 3 = 9, остаток 0. Сносим 3 единицы. 3 : 3 = 1; 1 · 3 = 3, остаток 0. Получаем частное 231.

В каждом неполном делимом выбираем наибольшую цифру частного, произведение которой на 3 не превосходит неполное делимое. Здесь цифры находятся точно: 2 · 3 = 6, 3 · 3 = 9, 1 · 3 = 3. Читаем полученные разряды слева направо: 2 сотни, 3 десятка и 1 единица - это 231.

693 : 3 = 231.

Проверка: 231 · 3 = 693. Деление выполнено нацело.

Шаг 2. Вычисляем 468 : 2 двумя способами.

Первый способ - деление суммы разрядных слагаемых. Представляем 468 как 400 + 60 + 8. Каждое слагаемое делится на 2: 400 : 2 = 200, 60 : 2 = 30, 8 : 2 = 4. Складываем частные: 200 + 30 + 4 = 234.

Такое разложение удобно, потому что каждое разрядное слагаемое делится на 2 без остатка. Используем распределительное свойство деления суммы: если каждое слагаемое делится на число, можно разделить их по отдельности, а затем сложить результаты.

Второй способ - деление уголком. 4 сотни : 2 = 2 сотни; 6 десятков : 2 = 3 десятка; 8 единиц : 2 = 4 единицы. На каждом этапе остаток равен нулю.

Сначала записываем 2 в разряде сотен частного и вычитаем 4 сотни. Затем сносим 6 десятков, записываем 3 в разряде десятков и вычитаем 6 десятков. После сноса 8 единиц записываем 4 в разряде единиц и вычитаем 8. Последний остаток равен нулю, поэтому деление завершено.

468 : 2 = 234.

Проверка: 234 · 2 = 468. Оба способа дали одинаковое частное.

Шаг 3. Записываем выбранный способ вычисления и окончательный ответ.

468 : 2 = (400 + 60 + 8) : 2 = 200 + 30 + 4 = 234.

Можно записать и деление уголком, показанное выше. Независимо от способа частное равно 234, потому что сотни, десятки и единицы разделены на 2 без остатка.

Окончательный ответ 234 относится к вычислению 468 : 2. Равенство 693 : 3 = 231 дано как образец, на котором показан порядок деления многозначного числа по неполным делимым.